Rysunek zbioru (z kwantyfikatorami)

[adner]

Narysuj zbiór punktów spełniających warunki:
\(\displaystyle{ \lbrace<x,y>; \bigvee\limits_{z} z\in Z \wedge \bigwedge\limits_{w} (|w-|z||=\frac{1}{2}) \Rightarrow (y \in [w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}] \wedge x \in [z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}] )\rbrace}}\)

Na ćwiczeniach robiliśmy dużo prostsze formuły a tu są 4 literki i zupełnie nie wiem jak się za to zabrać...

[Jan Kraszewski]

Masz dość zapaskudzone nawiasy. Czy chodzi o to?

\(\displaystyle{ (\exists z\in \mathbb Z)(\forall w) \left( |w-|z||=\frac{1}{2} \Rightarrow y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right)}\)

JK

[adner]

Tak, dokładnie o to. W oryginale ostatnie warunki wyglądały następująco: \(\displaystyle{ |w-y| \le \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ |z-x| \le \frac{1}{2}}\) ale to co uzyskałem jest chyba równoważne.

[Jan Kraszewski]

Najpierw trzeba ustalić \(\displaystyle{ z\in \mathbb Z}\) i zastanowić się, jak wygląda dla tego ustalonego \(\displaystyle{ z}\) zbiór

\(\displaystyle{ \left\{ \langle x,y\rangle:(\forall w) \left( |w-|z||=\frac{1}{2} \Rightarrow y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right)\right\}.}\)

Wskazówka: zastanów się najpierw, co mówi warunek \(\displaystyle{ |w-|z||=\frac{1}{2}}\) i ile jest takich \(\displaystyle{ w}\).

JK

[adner]

Dla każdego z różnego od 0 są cztery takie w(\(\displaystyle{ \pm z \pm \frac{1}{2}}\), można sprawdzić że dla całkowitych z są one wszystkie od siebie różne). Jeżeli podstawię to do wzoru to wychodzą rozszerzające się od punktu 0,0 prostokąty, ale chyba jeszcze trzeba rozpatrzyć przypadek w którym poprzednik jest fałszywy a następnik prawdziwy. Wynikałoby z tego, że w nie jest równe temu co powyżej a x nadal należy do tych samych przedziałów. Czy nie "domknie" to całej płaszczyzny? A może nie musimy rozważać takiego przypadku?

Edit: są chyba jednak tylko dwa takie w, bo przecież z jest określone(dodatnie lub ujemne)

[Jan Kraszewski]

Tylko dwa. Masz zatem dla każdego \(\displaystyle{ z\in\mathbb Z}\) nie prostokąt, tylko przekrój dwóch prostokątów. Próbuj dalej.

JK

[adner]

Wychodzi mi teraz taka "rozlazła" litera V złożona z prostokątów. Czy to jest jedyny przypadek czy muszę teraz uwzględnić jeszcze przypadek gdy poprzednik jest fałszywy a następnik prawdziwy? Wtedy w byłoby dowolne oprócz \(\displaystyle{ |z| \pm \frac{1}{2}}\). Nie mam jednak pojęcia jak to narysować - czy suma tego przypadku z pierwszym nie dałaby znów całej płaszczyzny?

[Jan Kraszewski]

Zauważyłeś, że dla ustalonego \(\displaystyle{ z\in\mathbb Z}\) rozpatrywany zbiór jest "kreską":

\(\displaystyle{ \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]\times\left\{ |z|\right\} ?}\)

JK

[adambak]

mam nadzieję, że nie będziecie mieli nic przeciwko jeśli się przyłączę, bo też jestem zainteresowany

czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{N }_{0}}\) ?


jednak mam identyczne wątpliwości co adner.. to samo mnie gryzie, a mianowicie co z resztą przypadków kiedy implikacja jest prawdziwa? założyliśmy, że poprzednik jest prawdziwy i względem tego dalej szliśmy z rozwiązywaniem.. i faktycznie, tak było fajnie, bo się pozbyliśmy \(\displaystyle{ w}\).. ale co gdy jest sytuacja 0->1 lub 0->0 ? dlaczego tego już nie musimy rozważać?

[Jan Kraszewski]

mam nadzieję, że nie będziecie mieli nic przeciwko jeśli się przyłączę, bo też jestem zainteresowany

Witamy.

czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{N }_{0}}\) ?

Nie.

jednak mam identyczne wątpliwości co adner.. to samo mnie gryzie, a mianowicie co z resztą przypadków kiedy implikacja jest prawdziwa? założyliśmy, że poprzednik jest prawdziwy i względem tego dalej szliśmy z rozwiązywaniem.. i faktycznie, tak było fajnie, bo się pozbyliśmy \(\displaystyle{ w}\).. ale co gdy jest sytuacja 0->1 lub 0->0 ? dlaczego tego już nie musimy rozważać?

Na razie jesteśmy w sytuacji

Najpierw trzeba ustalić \(\displaystyle{ z\in \mathbb Z}\) i zastanowić się, jak wygląda dla tego ustalonego \(\displaystyle{ z}\) zbiór

\(\displaystyle{ \left\{ \langle x,y\rangle:(\forall w) \left( |w-|z||=\frac{1}{2} \Rightarrow y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right)\right\}.}\)

Szukamy zatem takich par \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle}\), dla których prawdziwy jest warunek

\(\displaystyle{ (\forall w) \left( |w-|z||=\frac{1}{2} \Rightarrow y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right)}\)

Zatem szukamy zatem takich par \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle}\), że DLA KAŻDEGO \(\displaystyle{ w}\) zachodzi implikacja

\(\displaystyle{ |w-|z||=\frac{1}{2} \Rightarrow y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]}\)

Ponieważ przy fałszywym poprzedniku ta implikacja zachodzi trywialnie, więc koncentrujemy się na tym, by implikacja zachodziła także przy prawdziwym poprzedniku, czyli dla \(\displaystyle{ w=|z|\pm\frac12}\). W tym celu spełniony musi być warunek

\(\displaystyle{ y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]}\)

Dla \(\displaystyle{ w=|z|+\frac12}\) dostajemy prostokąt \(\displaystyle{ \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]\times \left[ |z|;|z|+1\right]}\), a dla \(\displaystyle{ w=|z|-\frac12}\) dostajemy prostokąt \(\displaystyle{ \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]\times \left[ |z|-1;|z|\right]}\). Ponieważ powyższy warunek musi być spełniony dla obu tych \(\displaystyle{ w}\), więc bierzemy przekrój tych prostokątów i dostajemy zbiór \(\displaystyle{ \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]\times\left\{ |z|\right\}}\).

Wobec tego szukany zbiór to

\(\displaystyle{ \bigcup_{z\in\mathbb Z}\left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]\times\left\{ |z|\right\}.}\)

JK

[adner]

Czy musimy więc się zastanowić jeszcze tym przypadkiem trywialnym(gdy poprzednik jest fałszywy) czy to jest już wynik? Wtedy mielibyśmy takie coś:

\(\displaystyle{ w \neq |z| \pm \frac{1}{2} \wedge y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]}\)

Jak podstawimy wszystkie w nie równe temu co wcześniej to sam już nie wiem co dostaniemy

W swoim imieniu i wszystkich innych zagubionych studentów MIM UW dziękuję za wszelkie wyjaśnienia

[Jan Kraszewski]

Czy musimy więc się zastanowić jeszcze tym przypadkiem trywialnym(gdy poprzednik jest fałszywy)

Ale który poprzednik? Przecież ta implikacja jest pod kwantyfikatorem ogólnym i przypadek fałszywości poprzednika został już rozpatrzony:

Zatem szukamy zatem takich par \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle}\), że DLA KAŻDEGO \(\displaystyle{ w}\) zachodzi implikacja

\(\displaystyle{ |w-|z||=\frac{1}{2} \Rightarrow y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]}\)

Ponieważ przy fałszywym poprzedniku ta implikacja zachodzi trywialnie, więc koncentrujemy się na tym, by implikacja zachodziła także przy prawdziwym poprzedniku, czyli dla \(\displaystyle{ w=|z|\pm\frac12}\).

JK

[adner]

A czy ta trywialność nie powoduje tego, że możemy sobie wziąć dowolny x i dowolny y? Trochę tego nie rozumiem w tym momencie

[Jan Kraszewski]

Nie powoduje, bo dla dowolnych (w domyśle: "niedopasowanych") \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) implikacja będzie spełniona (zapewne) tylko dla takich \(\displaystyle{ w,}\) dla których poprzednik implikacji jest fałszywy. A MUSI BYĆ spełniona dla wszystkich \(\displaystyle{ w}\), także dla tych, dla których poprzednik jest prawdziwy. Właśnie dlatego wystarczy rozważać tylko te \(\displaystyle{ w}\), dla których poprzednik jest prawdziwy.

JK

[mrotka]

Witam, również jestem zainteresowana tym zadaniem i w związku z tym mam pytanie

Ponieważ powyższy warunek musi być spełniony dla obu tych \(\displaystyle{ w}\), więc bierzemy przekrój tych prostokątów i dostajemy zbiór \(\displaystyle{ \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]\times\left\{ |z|\right\}}\).

Z czego wynika to, że warunek musi być spełniony dla obu tych \(\displaystyle{ w}\)? Jakoś bardziej rozumiem wersję, gdzie byłyby to prostokąty, o jakich wcześniej mówił adner, bo przecież równanie \(\displaystyle{ |w-|z||=\frac{1}{2}}\) dla konkretnego \(\displaystyle{ z \in Z}\) ma 2 rozwiązania i nie do końca rozumiem dlaczego ma być to jedynie część wspólna tych prostokątów, czyli "kreska".