Pochodna - funkcja z pierwiastkiem

[Kostero]

Czy ktoś mógłby pokazać, bądź dać wskazówkę, jak obliczyć z definicji pochodną funkcji\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \sqrt[5]{x} }}\)?

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \ldots=x^{-\frac15}}\), następnie można zastosować definicję liczby \(\displaystyle{ e}\).

[Kostero]

można poprosić o wytłumaczenie trochę dokładniej?

jak użyć do tego liczby \(\displaystyle{ e}\)?

[Mariusz M]

Jaką definicję liczby \(\displaystyle{ e}\)?

Pamiętasz jeden z ilorazów różnicowych ?

\(\displaystyle{ \frac{f\left( x+h\right)- f\left( x\right) }{h}\\
\frac{f\left( x+h\right)- f\left( x-h\right) }{2h}\\
\frac{f\left( x\right)- f\left( x-h\right) }{h}\\}\)

Trzeba policzyć granicę w zerze

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt[5]{x+h} } - \frac{1}{ \sqrt[5]{x} } }{h}}\)

Podczas liczenia tej granicy przydatny będzie wzór skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ a^5-b^5=\left( a-b\right)\left( a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)}\)

oraz działania na potęgach

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \sqrt[5]{x} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt[5]{x+h}}- \frac{1}{ \sqrt[5]{x} } }{h}\\
=\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{x+h}- \frac{1}{x} }{h\left( \frac{1}{ \sqrt[5]{\left( x+h\right)^4 } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x\left( x+h\right)^3 } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x^2\left( x+h\right)^2 } } +\frac{1}{ \sqrt[5]{x^3\left( x+h\right) } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x^4} }\right) } \\
=\lim_{h \to 0} \frac{ - \frac{h}{x\left( x+h\right) } }{h\left( \frac{1}{ \sqrt[5]{\left( x+h\right)^4 } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x\left( x+h\right)^3 } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x^2\left( x+h\right)^2 } } +\frac{1}{ \sqrt[5]{x^3\left( x+h\right) } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x^4} }\right) } \\
=\lim_{h \to 0} \frac{ - \frac{1}{x\left( x+h\right) } }{\left( \frac{1}{ \sqrt[5]{\left( x+h\right)^4 } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x\left( x+h\right)^3 } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x^2\left( x+h\right)^2 } } +\frac{1}{ \sqrt[5]{x^3\left( x+h\right) } }+\frac{1}{ \sqrt[5]{x^4} }\right) } \\
= -\frac{ \frac{1}{x^2} }{ \frac{5}{ \sqrt[5]{x^4} } } \\
=- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{ \sqrt[5]{x^4} }{5}\\
=- \frac{1}{5}x^{-2+ \frac{4}{5} }\\
=- \frac{1}{5}x^{- \frac{6}{5} }}\)

[Chromosom]

mariuszm, w jednym z dowodów wzoru na pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^a}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in\mathbb R}\) wykorzystuje się definicję liczby \(\displaystyle{ e}\).

[Kostero]

dzięki mariuszm, właśnie na czymś takim mi zależało

[Mariusz M]

Chromosom masz rację że można funkcję zapisać w postaci

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =e^{ \frac{1}{a} \cdot \ln{x} } \ a \in \mathbb{R}}\)

i liczyć pochodną korzystając z granicy w zerze z jednego z wyżej wymienionych
ilorazów różnicowych tyle że w przypadku gdy wykładnik jest wymierny
wystarczą wzory skróconego mnożenia
(pokazałem wyżej jak można liczyć dla wykładnika wymiernego
dla niewymiernego to nie mam innego pomysłu jak ten z liczbą e)

@Chromosom proponujesz zapisać funkcję

\(\displaystyle{ x^{a}=e^{ \frac{\ln{x}}{a} }}\)

a następnie skorzystać z

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f}{ \mbox{d}x }= \frac{ \mbox{d}f}{ \mbox{d}g} \cdot \frac{ \mbox{d}g}{ \mbox{d}x }}\)

oczywiście wszystkie obliczenia wykonujemy na granicach

czy skorzystać z granicy

\(\displaystyle{ e^{x}=\lim_{ n\to 0}{\left( 1+nx\right)^{ \frac{1}{n} } }\\
e=\lim_{ n\to 0}{\left( 1+n\right)^{ \frac{1}{n} } }\\}\)

Napisałeś

\(\displaystyle{ \ldots=x^{-\frac15}}\), następnie można zastosować definicję liczby \(\displaystyle{ e}\).

więc nie bardzo wiem o co ci chodzi

Jako definicję e przyjmuje się wyżej wymienioną granicę
(tyle że zapisywaną zwykle przy n dążącym do nieskończoności
ja tutaj zapisałem przy n dążącym do zera głównie dlatego że
pochodną liczy się w zerze )

Powyższej granicy używa się przy liczeniu pochodnej logarytmu
już po skorzystaniu z równości

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f}{ \mbox{d}x }= \frac{ \mbox{d}f}{ \mbox{d}g} \cdot \frac{ \mbox{d}g}{ \mbox{d}x }}\)

(Innego zastosowania definicji liczby e
a właściwie funkcji \(\displaystyle{ e^{x}}\) nie widzę)

Przyda się też znajomość pewnej granicy

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1}\)

[Chromosom]

mariuszm, proponuję zapisać w następującej postaci
\(\displaystyle{ f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^a-x^a}{h}\\ f^\prime(x)=x^a\lim_{h\to0}\frac{\left(1+\frac hx\right)^a-1}{h}=x^a\lim_{h\to0}\frac{e^{a\ln\left(1+\frac hx\right)}-1}{a\ln\left(1+\frac hx\right)}\cdot\frac{a\ln\left(1+\frac hx\right)}{h}=\,\cdots}\)
dalsze przekształcenia nie są już wymagające. Powyższy sposób uważam za szybszy również w przypadku wykładników wymiernych, ale upodabania matematyczne są różne.