sprawdzić czy jest topologią

[pixelka]

Należy sprawdzić czy rodzina \(\displaystyle{ \tau \subseteq P(R)}\) jest topologią na zbiorze liczb rzeczywistych:

\(\displaystyle{ \tau = \left\{U \subseteq R: 15 \in U \vee U = \emptyset \right\}}\)

no i teraz sprawdzam warunki (nie wiem czy dobrze rozumiem), więc:

1. \(\displaystyle{ \emptyset \in \tau}\) oraz \(\displaystyle{ X \in \tau}\)
i teraz rozumiem, że \(\displaystyle{ \emptyset \in \tau}\) bo \(\displaystyle{ U=\emptyset}\) tak samo \(\displaystyle{ X \in \tau}\) bo \(\displaystyle{ 15 \in R}\).

Ale co z pozostałymi przypadkami?

[Jan Kraszewski]

Trzeba sprawdzić. Z czym masz problem?

JK

[pixelka]

wiem, że trzeba sprawdzić, ale właśnie nie wiem jak. I nie wiem czy ten pierwszy warunek jest dobrze uzasadniony?

[Mistrz]

To, co napisałaś do tej pory jest dobrze, chociaż krzywo zapisane. Lepiej byłoby stwierdzić:
1. \(\displaystyle{ \emptyset \in \tau}\) (to jest napisane wprost w definicji)
2. \(\displaystyle{ \mathbb{R} \in \tau}\), bo \(\displaystyle{ 15 \in \mathbb{R}}\)
Nie napisałaś, że przez \(\displaystyle{ X}\) rozumiesz zbiór liczb rzeczywistych, choć oczywiste jest, że to właśnie miałaś na myśli.
Co jeszcze trzeba zrobić?
3. Wziąć dowolne dwa zbiory \(\displaystyle{ U_1, U_2 \in \tau}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \in \tau}\).
4. Wziąć dowolną rodzinę \(\displaystyle{ A \subset \tau}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup A \in \tau}\).
To wszystko.

[pixelka]

Dzięki, tylko właśnie nie wiem jak uzasadnić te pozostałe warunki. Zaczełam w ten sposób:

war. 2) \(\displaystyle{ \tau = \left\{ U \cap V \subseteq R: 15 \in U \cap V \vee U \cap V = \emptyset\right\}}\)
czyli \(\displaystyle{ 15 \in U \cap V}\) bo \(\displaystyle{ U \cap V \subseteq R}\), a \(\displaystyle{ 15 \in R}\) więc warunek 2 jest spełniony.

i nie wiem co dalej, niestety nie wiem jak ruszyć z tymi zadaniami, a mam zrobić kilka dlatego chciałabym zobaczyć chociaż ten jeden przykład.

[Jan Kraszewski]

war. 2) \(\displaystyle{ \tau = \left\{ U \cap V \subseteq R: 15 \in U \cap V \vee U \cap V = \emptyset\right\}}\)

Ten zapis niespecjalnie ma sens.

Masz wybrać dowolne \(\displaystyle{ U,V\in\tau}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ U\cap V\in\tau}\). Jeśli \(\displaystyle{ U,V\in\tau}\), to są dwie możliwości:
1. \(\displaystyle{ U=\emptyset}\) lub \(\displaystyle{ V=\emptyset}\). Wtedy \(\displaystyle{ U\cap V=\emptyset\in\tau}\), czyli OK.
2. \(\displaystyle{ U\neq\emptyset}\) i \(\displaystyle{ V\neq\emptyset}\). Wtedy musi być \(\displaystyle{ 15\in U}\) i \(\displaystyle{ 15\in V}\). Ale wówczas \(\displaystyle{ 15\in U\cap V}\), zatem \(\displaystyle{ U\cap V\in\tau}\), czyli OK.

JK

[pixelka]

Rozumiem, dziękuję:)

A jeśli chodzi o warunek 3 to czy mogłoby być to w ten sposób:


Bierzemy dowolną rodzinę \(\displaystyle{ A \subseteq \tau}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup A \in \tau}\)

Również rozważamy 2 przypadki:

1. Jeśli A jest zbiorem pustym to suma zbiorów pustych należy do \(\displaystyle{ \tau}\)

2. Jeśli \(\displaystyle{ 15 \in A}\) wtedy suma wszystkich A będzie liczbą rzeczywistą a \(\displaystyle{ R \in \tau}\)

[Jan Kraszewski]

Nie. Mylisz podzbiór topologii z elementem topologii.

Skoro \(\displaystyle{ \mathcal A \subseteq \tau}\), to dla każdego \(\displaystyle{ A\in \mathcal A}\) masz \(\displaystyle{ A\in \tau}\). Teraz rozważasz dwa przypadki:
1. dla każdego \(\displaystyle{ A\in \mathcal A}\) mamy \(\displaystyle{ A=\emptyset}\).
2. istnieje \(\displaystyle{ A\in \mathcal A}\) takie, że \(\displaystyle{ A\neq\emptyset}\).

W każdym z tych dwóch przypadków musisz uzasadnić, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal A\in \tau}\).

JK