Obliczyć granicę ciągu rekurencyjnego:

[klaudiak]

\(\displaystyle{ a_0=2}\)
\(\displaystyle{ a_1=-4}\)
\(\displaystyle{ a_n=111-\frac{1130}{a_{n-1}}+\frac{3000}{a_{n-1}a_{n-2}}}\)
Z góry dziękuje za pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[norwimaj]

Wprawdzie nie wiemy jeszcze, czy granica istnieje, ale załóżmy na razie, że tak jest. Oznaczmy \(\displaystyle{ g=\lim_{n\to\infty}a_n}\). Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n-1}=\lim_{n\to\infty}a_{n-2}=g}\) i po przejściu do granicy w równaniu

\(\displaystyle{ a_n=111-\frac{1130}{a_{n-1}}+\frac{3000}{a_{n-1}a_{n-2}}}\)

dostajemy równanie

\(\displaystyle{ g=111-\frac{1130}{g}+\frac{3000}{g\cdot g}}\),

z którego możemy wyliczyć \(\displaystyle{ g}\).

[klaudiak]

A to równanie ma kilka rozwiązań. Co z tego wynika?

[norwimaj]

Że jeśli istnieje granica, to jest ona równa któremuś z tych wyników.

Na podstawie wyliczenia kilkudziesięciu pierwszych wyrazów przypuszczam, że granicą jest \(\displaystyle{ 100}\), ale nie mam w tej chwili pomysłu jak to udowodnić.

[Dasio11]

Można się pobawić w wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu \(\displaystyle{ a_n.}\) Załóżmy na razie, że wyrazy \(\displaystyle{ a_n}\) są niezerowe. Następnie można zdefiniować nowy ciąg:

\(\displaystyle{ \begin{cases} t_0 = 1 \\ t_{n+1} = t_n a_n \quad \text{dla } n \ge 0 \end{cases}}\)

i podstawić do równania:

\(\displaystyle{ \frac{t_{n+1}}{t_n} = 111 - \frac{1130}{\cfrac{t_n}{t_{n-1}}} + \frac{3000}{\cfrac{t_n}{t_{n-1}} \cdot \cfrac{t_{n-1}}{t_{n-2}}} \quad \text{dla } n \ge 2 \\ \\ \\
t_{n+1} - 111 t_n +1130 t_{n-1} - 3000 t_{n-2} = 0}\)

Rozwiązujemy równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ t^3 - 111t^2 +1130t-3000=0 \\
(t-5)(t-6)(t-100)=0}\)

i dostajemy rozwiązanie ogólne:

\(\displaystyle{ t_n = A \cdot 5^n + B \cdot 6^n + C \cdot 100^n}\)

oraz

\(\displaystyle{ a_n = \frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{5A \cdot 5^n + 6B \cdot 6^n + 100C \cdot 100^n}{A \cdot 5^n + B \cdot 6^n + C \cdot 100^n} = \frac{ \frac{5A}{C} \cdot 5^n + \frac{6B}{C} \cdot 6^n + 100 \cdot 100^n}{ \frac{A}{C} \cdot 5^n + \frac{B}{C} \cdot 6^n + \cdot 100^n}}\)

Dla formalności należałoby wyliczyć stałe \(\displaystyle{ A' = \frac{A}{C}, B'= \frac{B}{C}}\) w celu sprawdzenia, że faktycznie wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ a_n}\) są niezerowe. Wówczas, ponieważ wyrażenie po prawej stronie dla odpowiednio dobranych \(\displaystyle{ A', B'}\) spełnia warunki początkowe i równanie rekurencyjne, jest więc jedynym rozwiązaniem tego równania z warunkami początkowymi. Granicę ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) łatwo obliczyć:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 100,}\)

o ile faktycznie w ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) nie pojawiają się zera (nie sprawdzałem).