Ciąg geometryczny nieskończony.?

[picco]

Witam, rozwiązując pewne zadanie z fizyki, zatrzymała mnie nieznajomość matematyki. Problem jest taki, że w szkole nie przerabialiśmy jeszcze szeregów, i jeszcze długo nie będziemy, a poza tym nie mam się z czego doedukować, w każdym razie to co przeglądałem niewiele mi wyjaśniło. To nie zrozumienie może, się także objawiać tym, że nie znam zagadnień poprzedzających właśnie szeregi. A wiec byłbym bardzo wdzięczny za rozwiązanie tego szeregu:

\(\displaystyle{ S= a^{2} \cdot b + a^{2} \cdot b \cdot (1-a)^{2} + a^{2} \cdot b \cdot (1-a)^{4} + a^{2} \cdot b \cdot(1-a)^{6} ...}\)

Co chyba można uprościć do:

\(\displaystyle{ S= a^{2} \cdot b \cdot (1+ (1-a)^{2} + (1-a)^{4} + (1-a)^{6} ...)}\)

Jeżeli, występuje jakiś błąd w zapisie, to proszę nie zabijacie!

Z góry dziękuję!

[anna_]

To nie szereg, tylko suma nieskończonego ciągu geometycznego o ilorazie \(\displaystyle{ (a - 1)^2}\)

[picco]

Bardzo dziękuję za sprostowanie i odpowiedź. Mam kolejne pytanie, znalazłem w internecie wzór właśnie na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ S= \frac{a _{1} }{1-q}}\)

Co we wzorze oznaczają odpowiednio:
\(\displaystyle{ a _{1}}\)
i
\(\displaystyle{ q}\) ?

[anna_]

\(\displaystyle{ a_1}\) - to pierwszy wyraz ciągu
\(\displaystyle{ q}\) - to iloraz (czyli wynik dzielenia \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}}{a_n}}\))

[picco]

Właściwie to zapomniałem a założeniach:
\(\displaystyle{ a \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ b \in (0,+ \infty )}\)

Czyli zgodnie ze wzorem:
\(\displaystyle{ S= \frac{a _{1} }{1-q}}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{1 }{1-(a-1)^{2} }=\frac{1 }{1-a^2+2a-1 }=\frac{1 }{-a^{2}+2a }=\frac{1 }{a(2-a) }}\)

Czy powyższe rozwiązanie jest prawidłowe? Uprościć się go już chyba nie da ? I dalej - wyraz przed nawiasem:
\(\displaystyle{ a^{2} \cdot b \cdot}\)
nie wprowadza nic do wartości tej sumy, czy jednak prawidłowym rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ S=\frac{a^{2} \cdot b}{a(2-a) }}\)

[anna_]

Zamiast \(\displaystyle{ 12}\)ma być \(\displaystyle{ 1}\)

No i można jeszcze skrócić
\(\displaystyle{ S=\frac{a^{2} \cdot b}{a(2-a) }=\frac{a \cdot b}{2-a}}\)

[picco]

Zamiast \(\displaystyle{ 12}\)ma być \(\displaystyle{ 1}\)

Tak oczywiście, wynika to z literówki, a nie z obliczeń, dzięki za poprawę.

No i można jeszcze skrócić
\(\displaystyle{ S=\frac{a^{2} \cdot b}{a(2-a) }=\frac{a \cdot b}{2-a}}\)

Faktycznie. Dziękuję bardzo.