LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 10 maja 2011, o 17:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
W zad.2. można też tak pokazać że potęga 2 musi być parzysta:
Każda nieparzysta potęga 2 kończy się cyfrą 2 lub 8. więc lewa strona kończy się na 5+2=7 lub 5+8=13, czyli cyfra jedności 3. Ale żadne dwie cyfry pomnożone przez siebie nie dadzą liczby której cyfra jedności to 3 lub 7 ( można ręcznie sprawdzić 9 przypadków jeśli nie widać od razu
Każda nieparzysta potęga 2 kończy się cyfrą 2 lub 8. więc lewa strona kończy się na 5+2=7 lub 5+8=13, czyli cyfra jedności 3. Ale żadne dwie cyfry pomnożone przez siebie nie dadzą liczby której cyfra jedności to 3 lub 7 ( można ręcznie sprawdzić 9 przypadków jeśli nie widać od razu
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Ej, halo, to co ja napisałem jest w 100% elementarne, bez przesady . Ale to rozwiązanie, to bardziej jest robienie sobie jaj, bo wykazanie, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste jest śmiesznie proste .Marcinek665 pisze:To jest dylemat pomiędzy ładnym a elementarnym rozwiązaniem. Ja wybrałem elementarne, bo wiadomo, że zadanie z pierwszej serii pierwszego etapu nie będzie szło raczej niczym wyrafinowanym xDSwistak pisze:Bez jakiegoś syfnego sprawdzania ile jest \(\displaystyle{ 2^1}\) i \(\displaystyle{ 2^3}\) modulo 5 i patrzenia, że te syfy nie są resztami, poprzez wypisanie ich wszystkich .
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 22 lip 2009, o 12:48
- Płeć: Mężczyzna
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Hmmm... Trzecie dało się zrobić odbijając względem obu dwusiecznych paru punktów i dopałowaniu na sinusach... (kwestią nierostrzygniętą zostanie pewnie, czy wogóle trzeba było odbijać, ale nie chce mi się tego sprawdzać żeby się nie czerwienić).
1. Wielomiany
2. Parzystość + Mihailescu (stwierdziłem że trzeba podtrzymać tradycję używania go w pierwszych etapach)
4. Clas(S)ic
1. Wielomiany
2. Parzystość + Mihailescu (stwierdziłem że trzeba podtrzymać tradycję używania go w pierwszych etapach)
4. Clas(S)ic
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Dla mnie pojęcie "elementarne", to mniej więcej "w zakresie szkoły średniej". A spróbuj dać rzędy albo generatory jakiemuś przeciętnemu nauczycielowi z liceum. Ciekawe, czy zrozumie xD Już nie mówiąc o uczniach.Swistak pisze: Ej, halo, to co ja napisałem jest w 100% elementarne, bez przesady . Ale to rozwiązanie, to bardziej jest robienie sobie jaj, bo wykazanie, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste jest śmiesznie proste .
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Szczerzę się przyznam że pierwszy raz słyszę o twierdzeniu Mihailescu.
To jest coś pięknego!
Brać się za drugą serię, chociaż pewnie większość już ją rozkminiła
To jest coś pięknego!
Też mnie to ciekawi. Jest również możliwość, że wymienienie MTFa i Jensena jako prostych i elementarnych twierdzeń dla licealistów to ironia xD
Brać się za drugą serię, chociaż pewnie większość już ją rozkminiła
-
- Użytkownik
- Posty: 342
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 28 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Mogę spytać o rozwiązanie z Mihailescu?Prastaruszek pisze:Hmmm... Trzecie dało się zrobić odbijając względem obu dwusiecznych paru punktów i dopałowaniu na sinusach... (kwestią nierostrzygniętą zostanie pewnie, czy wogóle trzeba było odbijać, ale nie chce mi się tego sprawdzać żeby się nie czerwienić).
1. Wielomiany
2. Parzystość + Mihailescu (stwierdziłem że trzeba podtrzymać tradycję używania go w pierwszych etapach)
4. Clas(S)ic
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 10 maja 2011, o 17:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Dla Pandy rozwiązanie 2 z Mihailescu:
Jak już dowiedziemy ż \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste \(\displaystyle{ x=2n}\) to możemy zapisać
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5 ^{l}=k+2 ^{n} \\ 5 ^{m}=k-2 ^{n} \\ l>m \end}\).
Odejmując stronami mamy \(\displaystyle{ 5 ^{l} - 5 ^{m}=2 ^{n+1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n+1>0}\) a żadna potęga \(\displaystyle{ 2}\) nie jest podzielna przez 5 więc musi zachodzić \(\displaystyle{ m=0}\). I teraz możemy zapisać \(\displaystyle{ 5 ^{l}-2 ^{n+1}=1}\) I teraz korzystając z tw. Mihailescu zauważamy że \(\displaystyle{ l=1}\). Czyli \(\displaystyle{ 5-1=4=2 ^{2}=2 ^{n+1}}\) Stąd \(\displaystyle{ n=1}\), czyli \(\displaystyle{ x=2, y=1}\)
Jak już dowiedziemy ż \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste \(\displaystyle{ x=2n}\) to możemy zapisać
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5 ^{l}=k+2 ^{n} \\ 5 ^{m}=k-2 ^{n} \\ l>m \end}\).
Odejmując stronami mamy \(\displaystyle{ 5 ^{l} - 5 ^{m}=2 ^{n+1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n+1>0}\) a żadna potęga \(\displaystyle{ 2}\) nie jest podzielna przez 5 więc musi zachodzić \(\displaystyle{ m=0}\). I teraz możemy zapisać \(\displaystyle{ 5 ^{l}-2 ^{n+1}=1}\) I teraz korzystając z tw. Mihailescu zauważamy że \(\displaystyle{ l=1}\). Czyli \(\displaystyle{ 5-1=4=2 ^{2}=2 ^{n+1}}\) Stąd \(\displaystyle{ n=1}\), czyli \(\displaystyle{ x=2, y=1}\)
- Dunix
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 15:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ropczyce
- Podziękował: 3 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Mam pytanie natury technicznej odnośnie zadania nr 8. Mianowicie jak należy rozumieć wyrażenie \(\displaystyle{ f(x) ^{2}}\) czy jako \(\displaystyle{ [f(x)] ^{2}}\) czy może \(\displaystyle{ f(x^{2})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Pomógł: 10 razy
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Witam i proszę o uwagę.
Od tego momentu ewentualne rozwiązania kolejnych serii zadań z OM i OMG proszę umieszczać najwcześniej 8 godzin po upłynięciu terminu wysyłki danej serii rozwiązań, np. jeśli II seria I etapu bieżącej (63.) OM kończy się dnia 3 XI 2011, to NIE WOLNO wrzucać rozwiązań przed 4 XI 2011, godz. 8:00.
Spowodowane jest to sytuacjami na pocztach w większych miastach, gdzie ustawiając się w (długiej) kolejce przed północą, można nawet ok. 2:00 dostać pieczątkę z datą dnia poprzedniego.
Nieprzestrzeganie będzie powodowało ban
Od tego momentu ewentualne rozwiązania kolejnych serii zadań z OM i OMG proszę umieszczać najwcześniej 8 godzin po upłynięciu terminu wysyłki danej serii rozwiązań, np. jeśli II seria I etapu bieżącej (63.) OM kończy się dnia 3 XI 2011, to NIE WOLNO wrzucać rozwiązań przed 4 XI 2011, godz. 8:00.
Spowodowane jest to sytuacjami na pocztach w większych miastach, gdzie ustawiając się w (długiej) kolejce przed północą, można nawet ok. 2:00 dostać pieczątkę z datą dnia poprzedniego.
Nieprzestrzeganie będzie powodowało ban
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
"Fukcje f określone na zbiorze liczb rzeczywistych i przyjmujące wartości rzeczywiste"
czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ ZWf = \left( - \infty , + \infty \right)}\) ??
czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ ZWf = \left( - \infty , + \infty \right)}\) ??
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Oznacza, że to funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\).