LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

[K-mil]

W zad.2. można też tak pokazać że potęga 2 musi być parzysta:
Każda nieparzysta potęga 2 kończy się cyfrą 2 lub 8. więc lewa strona kończy się na 5+2=7 lub 5+8=13, czyli cyfra jedności 3. Ale żadne dwie cyfry pomnożone przez siebie nie dadzą liczby której cyfra jedności to 3 lub 7 ( można ręcznie sprawdzić 9 przypadków jeśli nie widać od razu

[Swistak]

Bez jakiegoś syfnego sprawdzania ile jest \(\displaystyle{ 2^1}\) i \(\displaystyle{ 2^3}\) modulo 5 i patrzenia, że te syfy nie są resztami, poprzez wypisanie ich wszystkich .

To jest dylemat pomiędzy ładnym a elementarnym rozwiązaniem. Ja wybrałem elementarne, bo wiadomo, że zadanie z pierwszej serii pierwszego etapu nie będzie szło raczej niczym wyrafinowanym xD

Ej, halo, to co ja napisałem jest w 100% elementarne, bez przesady . Ale to rozwiązanie, to bardziej jest robienie sobie jaj, bo wykazanie, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste jest śmiesznie proste .

[Prastaruszek]

Hmmm... Trzecie dało się zrobić odbijając względem obu dwusiecznych paru punktów i dopałowaniu na sinusach... (kwestią nierostrzygniętą zostanie pewnie, czy wogóle trzeba było odbijać, ale nie chce mi się tego sprawdzać żeby się nie czerwienić).
1. Wielomiany
2. Parzystość + Mihailescu (stwierdziłem że trzeba podtrzymać tradycję używania go w pierwszych etapach)
4. Clas(S)ic

[Marcinek665]

Ej, halo, to co ja napisałem jest w 100% elementarne, bez przesady . Ale to rozwiązanie, to bardziej jest robienie sobie jaj, bo wykazanie, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste jest śmiesznie proste .

Dla mnie pojęcie "elementarne", to mniej więcej "w zakresie szkoły średniej". A spróbuj dać rzędy albo generatory jakiemuś przeciętnemu nauczycielowi z liceum. Ciekawe, czy zrozumie xD Już nie mówiąc o uczniach.

[bakala12]

Szczerzę się przyznam że pierwszy raz słyszę o twierdzeniu Mihailescu.
To jest coś pięknego!

Też mnie to ciekawi. Jest również możliwość, że wymienienie MTFa i Jensena jako prostych i elementarnych twierdzeń dla licealistów to ironia xD

Brać się za drugą serię, chociaż pewnie większość już ją rozkminiła

[Panda]

Hmmm... Trzecie dało się zrobić odbijając względem obu dwusiecznych paru punktów i dopałowaniu na sinusach... (kwestią nierostrzygniętą zostanie pewnie, czy wogóle trzeba było odbijać, ale nie chce mi się tego sprawdzać żeby się nie czerwienić).
1. Wielomiany
2. Parzystość + Mihailescu (stwierdziłem że trzeba podtrzymać tradycję używania go w pierwszych etapach)
4. Clas(S)ic

Mogę spytać o rozwiązanie z Mihailescu?

[K-mil]

Dla Pandy rozwiązanie 2 z Mihailescu:
Jak już dowiedziemy ż \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste \(\displaystyle{ x=2n}\) to możemy zapisać
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5 ^{l}=k+2 ^{n} \\ 5 ^{m}=k-2 ^{n} \\ l>m \end}\).

Odejmując stronami mamy \(\displaystyle{ 5 ^{l} - 5 ^{m}=2 ^{n+1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n+1>0}\) a żadna potęga \(\displaystyle{ 2}\) nie jest podzielna przez 5 więc musi zachodzić \(\displaystyle{ m=0}\). I teraz możemy zapisać \(\displaystyle{ 5 ^{l}-2 ^{n+1}=1}\) I teraz korzystając z tw. Mihailescu zauważamy że \(\displaystyle{ l=1}\). Czyli \(\displaystyle{ 5-1=4=2 ^{2}=2 ^{n+1}}\) Stąd \(\displaystyle{ n=1}\), czyli \(\displaystyle{ x=2, y=1}\)

[Panda]

Dzięki, miałem nadzieję na coś mniej naciąganego

[Dunix]

Mam pytanie natury technicznej odnośnie zadania nr 8. Mianowicie jak należy rozumieć wyrażenie \(\displaystyle{ f(x) ^{2}}\) czy jako \(\displaystyle{ [f(x)] ^{2}}\) czy może \(\displaystyle{ f(x^{2})}\)

[marcin_smu]

Oczywiście jako \(\displaystyle{ \left( f(x)\right)^2}\)

[Dunix]

Dzięki, tak jak myślałem

[Sylwek]

Witam i proszę o uwagę.

Od tego momentu ewentualne rozwiązania kolejnych serii zadań z OM i OMG proszę umieszczać najwcześniej 8 godzin po upłynięciu terminu wysyłki danej serii rozwiązań, np. jeśli II seria I etapu bieżącej (63.) OM kończy się dnia 3 XI 2011, to NIE WOLNO wrzucać rozwiązań przed 4 XI 2011, godz. 8:00.

Spowodowane jest to sytuacjami na pocztach w większych miastach, gdzie ustawiając się w (długiej) kolejce przed północą, można nawet ok. 2:00 dostać pieczątkę z datą dnia poprzedniego.

Nieprzestrzeganie będzie powodowało ban

[Mruczek]

Na stronie OM pojawiły się rozwiązania zadań z I serii.

[dedeluszz]

"Fukcje f określone na zbiorze liczb rzeczywistych i przyjmujące wartości rzeczywiste"

czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ ZWf = \left( - \infty , + \infty \right)}\) ??

[Marcinek665]

Oznacza, że to funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\).