σ-ciało, co to właściwie jest?

[ooogor]

Cześć!
Na studiach dzisiaj rozpocząłem zajecia z Rachunku Prawdopodobieństwa. Początek wykładu- wszystko ok, ale potem pojawiła się ona, ono, nie wiem czym to właściwie jest- "σ-ciało". Oczywiście mam swoje notatki, wikipedię ( i inne źródła wiedzy, jednak nie przemawiają one do mnie w dość jasny sposób. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć w miarę prosto, czym jest ta magiczna sigma ciało? Będę niezmiernie wdzięczny.

Pozdrawiam!

[Spektralny]

Rodzina zbiorów (podzbiorów danego zbioru), których elementy można zmierzyć. Oczywiście sigma ciała rozważamy (możemy rozważać) w oderwaniu od pojęcia miary, ale chciałbym nawiązać do tej intuicji. Jeżeli potrafisz zmierzyć jakiś zbiór (długość, pole, objętość?), to powinieneś umieć zmierzyć także jego dopełnienie. Tak samo jeżeli masz przeliczalnie wiele zbiorów, z których każdy element możesz zmierzyć - ich sumę także powinieneś umieć zmierzyć. No i ostatni warunek: zbiór pusty czyli, hmm nic, też powinno dać się zmierzyć (i mieć zawsze miarę zero, ale tu zahaczam już o definicję miary).

Bardziej abstrakcyjnie, \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała to algebry Boolea zbiorów, które są \(\displaystyle{ \sigma}\)-zupełne.

[szw1710]

Sigma-ciało to podstawowa struktura w teorii miary. Określa, które zbiory są mierzalne (a które nie). Zbiory należące do sigma-ciała zwykło się nazywać mierzalnymi, choć na razie żadnej miary nie określono. Na to będzie czas później. Więc mamy tu wszystkie zbiory, które, mówiąc potocznie, da się pomierzyć, tj. np. wyliczyć ich pole, jeśli mamy podzbiory płaszczyzny, zmierzyć objętość itp. Są też zbiory niemierzalne, tzn. te, które nie należą do sigma-ciała. Jeśli będziesz miał sigma-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, to znalezienie zbioru niemierzalnego nie jest takie trywialne. Oczywiście taki zbiór istnieje (przykłady Vitaliego, Weierstrassa czy tez twierdzenie Ulama).

Na zbiorach mierzalnych, czyli na sigma-ciele określa się miarę, tj. zbiorom przypisuje się liczby w pewien określony sposób. Miarą może być np. pole figury płaskiej, objętość bryły itp. To są modelowe przykłady miar.

Z kolei mając miarę rozważa się całkę względem tej miary. Sigma-ciało zatem jest wyjściem do wszystkich rozważań związanych z teorią miary.

Nie do końca wyrażałem się ściśle, ale, o ile dobrze rozumiem, chodziło Ci o przybliżenie pojęcia sigma-ciała we w miarę prostych słowach. Mam nadzieję, że choć w części udało mi się ten cel osiągnąć.

[Spektralny]

Weierstraß podał przykład zbioru niemierzalnego? Zmarł przecież osiem lat przed opublikowaniem pracy Lebesgue'a o całkowaniu.

[szw1710]

Może nieco przesadziłem - sprawdzę w notatkach z analizy (sprzed 25 lat). Ale chyba pomyliło mi się z przykładem funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej Dziękuję za wnikliwe czytanie.

Po sprawdzeniu: przynajmniej dwie rzeczy są: twierdzenie Ulama oraz przykład Vitaliego. Z Weierstrassem przeholowałem, ale zostawiam na pamiątkę.

[Spektralny]

Dla mnie najprostszym ideowo zbiorem niemierzalnym jest zbiór Bernsteina (w zasadzie zbiory).