twierdzenie o dwóch ciągach

[kas_olk]

Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left[ \left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n\left( 5- \frac{1}{n} \right)^n \right]}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 5- \frac{1}{n} \right)^n >\left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 4^n=\left( \frac 43\right)^n}\)

Q.

[pawellogrd]

Przepraszam, ze sie podpinam, ale nie chce zakladac identycznego tematu. Dlaczego taka nierówność miałaby zajść? Przecież \(\displaystyle{ (\frac{1}{3})^{n} \le \left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n}\) oraz \(\displaystyle{ 4^{n} \le (5- \frac{1}{n})^{n}}\), więc wynikałoby z tego, że raczej \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 5- \frac{1}{n} \right)^n \le \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 4^n=\left( \frac 43\right)^n}\) tyle tylko, że to nie miałoby w ogóle sensu, bo \(\displaystyle{ \left( \frac{4}{3}\right)^{n} \rightarrow + \infty}\), więc pisanie po lewej stronie ciągu mniejszego od tego po prawej stronie (zmierzającego do plus nieskończoności) nie miałoby sensu. Trzeba przecież znaleźć właśnie ciąg, który jest mniejszy od tego po lewej stronie (tj. żeby była taka nierówność jak w powyższym zapisie) skoro granica wynosi plus nieskończoność.

Dodatkowo sprawdziłem powyższą nierówność dla \(\displaystyle{ n=1}\) i dla \(\displaystyle{ n=2}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) obie strony są sobie równe (zatem pierwsza nie jest większa niż druga), dla n=2 lewa strona jest znacznie mniejsza niż druga, a więc tym bardziej większa nie jest.

Proszę o wytłumaczenie tego powyższego zapisu, bo nie bardzo mogę zrozumieć taką nierówność.

[Qń]

\(\displaystyle{ (\frac{1}{3})^{n} \le \left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n}\) oraz \(\displaystyle{ 4^{n} \le (5- \frac{1}{n})^{n}}\), więc wynikałoby z tego, że raczej \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 5- \frac{1}{n} \right)^n \le \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 4^n=\left( \frac 43\right)^n}\)

W jaki niby sposób miałoby to wynikać z tych (oczywiście słusznych) przesłanek?

Q.

[pawellogrd]

Przy założeniu, że \(\displaystyle{ n \in N}\) (a tu mówimy o ciągach więc tak jest) jeśli \(\displaystyle{ a \le b}\) i \(\displaystyle{ c \le d}\) to \(\displaystyle{ a \cdot c}\) zawsze będzie siłą rzeczy mniejsze lub co najwyżej równe \(\displaystyle{ b \cdot d}\) Inaczej mogę to pokazać, np. tak:

Niech \(\displaystyle{ b=2a}\) oraz \(\displaystyle{ d=2c}\) (a więc \(\displaystyle{ a \le b}\) i \(\displaystyle{ c \le d}\)). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{b \cdot d}{a \cdot c} = \frac{2a \cdot 2c}{a \cdot c} = 4}\), a więc widać, że iloczyn \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ d}\) jest większy nż \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ c}\).

Jeśli \(\displaystyle{ a=c}\) oraz \(\displaystyle{ b=d}\) to oczywiście iloczyny \(\displaystyle{ a \cdot c}\) i \(\displaystyle{ b \cdot d}\) będą sobie równe, stąd \(\displaystyle{ a \cdot c \le b \cdot d}\).

Ten iloczyn \(\displaystyle{ a \cdot c \le b \cdot d}\) jest analogiczny do \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 5- \frac{1}{n} \right)^n \le \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 4^n}\) z tym że oczywiście tam \(\displaystyle{ b \neq 2a}\) i \(\displaystyle{ d \neq 2c}\) (no może dla któryś n będzie to spełnione, ale nie będę już tego dokładniej wyliczał, bo to akurat nie m znaczenia o ile \(\displaystyle{ b}\) będzie większe od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) od \(\displaystyle{ d}\)) jednak wciąż \(\displaystyle{ a \cdot c \le b \cdot d}\)

W każdym razie - jak zrobić ten powyższy przykład wobec tego?

[Qń]

Implikacja \(\displaystyle{ (0\le a\le b \wedge 0\le c\le d) \Rightarrow ac\le bd}\) jest niewątpliwie słuszna. Zastanów się tylko co w zadaniu z tego wątku przyjmujesz za \(\displaystyle{ a,b,c,d}\).

Q.

[pawellogrd]

Hmm tak teraz patrzę na to i nie wiem w sumie co złego widziałem w tym, co zapisałeś. Coś mi się musiało pomieszać w głowie Zapisałeś powyżej w sumie dokładnie to co ja piszę...Po lewej mamy to \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ d}\) a po prawej \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\). Sorry za zamieszanie, już wszystko jasne