Witajcie.
Pewne równanie ma postać
\(\displaystyle{ L(s)= s^{4} +5s^{3}+9s^{2}+6s+3}\)
W jaki sposób najszybciej i najprościej to rozwiązać "na kartce"? Czy można w jakiś sposób zastosować tu podstawienie np. \(\displaystyle{ t^{2}=s}\)
Pozdrawiam,
Bartek
Równanie 4 stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 18:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Równanie 4 stopnia
Rzeczywistych nie posiada, jeżeli chcesz wyznaczyć pierwiastki zespolone możesz dany wielomian doprowadzić do postaci iloczynowej korzystając z metody Ferrariego, jednak w tym wypadku trochę obliczeń będzie, po sprowadzeniu danego wielomianu do równania sześciennego będziesz musiał skorzystać ze wzorów Cardano.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Równanie 4 stopnia
Tak czy owak, żadna z tych metod moim zdaniem nie nadaje się do zastosowania "na kartce". Ja bym pokusił się o szukanie przybliżonych rozwiązań metodą bisekcji.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie 4 stopnia
Althorion, metoda bisekcji jeśli nie istnieje przedział w którym zachodzi zmiana znaku raczej nie zadziała
Myślę że tutaj najlepszym pomysłem jest rozkład na czynniki kwadratowe
np sprowadzając równanie do postaci różnicy kwadratów
Myślę że tutaj najlepszym pomysłem jest rozkład na czynniki kwadratowe
np sprowadzając równanie do postaci różnicy kwadratów
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Równanie 4 stopnia
To równanie ma cztery rozwiązania parami sprzężone. Czyli jest postaci
\(\displaystyle{ (s^2+as+b)(s^2+cs+d), a,b,c,d\in \mathbb{R}}\)
przyrównaj odpowiednie współczynniki.
\(\displaystyle{ (s^2+as+b)(s^2+cs+d), a,b,c,d\in \mathbb{R}}\)
przyrównaj odpowiednie współczynniki.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie 4 stopnia
E tam ja uważam że lepiej do różnicy kwadratów sprowadzić
bo tak jak proponujesz to bez wyrugowania elementu \(\displaystyle{ 5s^3}\)
otrzymamy układ który dość nieciekawie wygląda a
jeżeli tą funkcję otrzymał w wyniku transformacji Laplace (na to wygląda)
to wystarczy rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
a wtedy najlepszym pomysłem jest sprowadzenie do postaci różnicy kwadratów
\(\displaystyle{ s^4+5s^3+9s^2+6s+3=0\\
s^4+5s^3=-9s^2-6s-3\\
s^4+5s^3+ \frac{25}{4}s^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s \right)^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y- \frac{11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2}{4} -3\\
\left( \frac{5}{2}y-6 \right)^2=\left( y^2-12\right)\left( y- \frac{11}{4} \right)\\
\frac{25}{4}y^2-30y+36=y^3-11y^2-12y+33\\
y^3-9y^2+18y-3=0\\
y=w+3\\
\left( w+3\right)^3-9\left( w+3\right)^2+18\left( w+3\right)-3=0\\
w^3+9w^2+27w+27-9w^2-54w-81+18w+54-3=0\\
w^3-9w-3=0\\
w=u+v\\
\left( u+v\right)^3-9\left( u+v\right)-3\\
u^3+v^3+3u^2+3uv^2-9\left( u+v\right)-3\\
\begin{cases} u^3+v^3-3=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-3\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=3 \\ uv=3 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=3 \\ u^3v^3=27 \end{cases} \\
t^2-3t+27=0\\
t^2-3t+ \frac{9}{4}+ \frac{99}{4}\\
\left( t- \frac{3- \sqrt{99}i }{2} \right)\left( t- \frac{3+ \sqrt{99}i }{2} \right)=0\\
u= \sqrt[3]{ \frac{3-3 \sqrt{11}i }{2} }\\
v= \sqrt[3]{ \frac{3+3 \sqrt{11}i }{2} }\\
\left| u\right|=\left| v\right|= \sqrt{27}\\
arg\left( u\right)=-arg\left( v\right)=\arctan{\left( \sqrt{11} \right)}\\
w=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) } \\
y=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) }+3}\)
\(\displaystyle{ \left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{4y-11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2-12}{4} \\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{ \sqrt{4y-11} }{2}s+ \frac{ \sqrt{y^2-12} }{2} \right)^2\\
\left( s^2+ \left( \frac{5- \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y-\sqrt{y^2-12}}{2} \right)\left( s^2+ \left( \frac{5+ \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y+\sqrt{y^2-12}}{2} \right)=0}\)
bo tak jak proponujesz to bez wyrugowania elementu \(\displaystyle{ 5s^3}\)
otrzymamy układ który dość nieciekawie wygląda a
jeżeli tą funkcję otrzymał w wyniku transformacji Laplace (na to wygląda)
to wystarczy rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
a wtedy najlepszym pomysłem jest sprowadzenie do postaci różnicy kwadratów
\(\displaystyle{ s^4+5s^3+9s^2+6s+3=0\\
s^4+5s^3=-9s^2-6s-3\\
s^4+5s^3+ \frac{25}{4}s^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s \right)^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y- \frac{11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2}{4} -3\\
\left( \frac{5}{2}y-6 \right)^2=\left( y^2-12\right)\left( y- \frac{11}{4} \right)\\
\frac{25}{4}y^2-30y+36=y^3-11y^2-12y+33\\
y^3-9y^2+18y-3=0\\
y=w+3\\
\left( w+3\right)^3-9\left( w+3\right)^2+18\left( w+3\right)-3=0\\
w^3+9w^2+27w+27-9w^2-54w-81+18w+54-3=0\\
w^3-9w-3=0\\
w=u+v\\
\left( u+v\right)^3-9\left( u+v\right)-3\\
u^3+v^3+3u^2+3uv^2-9\left( u+v\right)-3\\
\begin{cases} u^3+v^3-3=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-3\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=3 \\ uv=3 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=3 \\ u^3v^3=27 \end{cases} \\
t^2-3t+27=0\\
t^2-3t+ \frac{9}{4}+ \frac{99}{4}\\
\left( t- \frac{3- \sqrt{99}i }{2} \right)\left( t- \frac{3+ \sqrt{99}i }{2} \right)=0\\
u= \sqrt[3]{ \frac{3-3 \sqrt{11}i }{2} }\\
v= \sqrt[3]{ \frac{3+3 \sqrt{11}i }{2} }\\
\left| u\right|=\left| v\right|= \sqrt{27}\\
arg\left( u\right)=-arg\left( v\right)=\arctan{\left( \sqrt{11} \right)}\\
w=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) } \\
y=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) }+3}\)
\(\displaystyle{ \left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{4y-11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2-12}{4} \\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{ \sqrt{4y-11} }{2}s+ \frac{ \sqrt{y^2-12} }{2} \right)^2\\
\left( s^2+ \left( \frac{5- \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y-\sqrt{y^2-12}}{2} \right)\left( s^2+ \left( \frac{5+ \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y+\sqrt{y^2-12}}{2} \right)=0}\)