równanie liniowe różniczkowe - definicja

mennandore · Post autor: **mennandore** » 3 paź 2011, o 12:27

Witam
Chodzi mi o definicję równania liniowego. Czy jeśli mamy równanie wiążące np. 3 zmienne, a w równaniu występują operatory liniowe (np. mnożenie przez skalar i różniczkowania) to równanie to jest liniowe?

I w związku z powyższym - czy równanie różniczkowe liniowe to takie w którym występują operatory różniczkowania (jako że są liniowe) + inne operatory liniowe?

Chodzi mi tu o ogólną definicje równania liniowego

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 paź 2011, o 13:16

Równanie liniowe zwyczajne \(\displaystyle{ n}\)-tego rzędu:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nf_k(x)y^{(k)}(x)=f(x),}\)

gdzie funkcją niewiadomą jest \(\displaystyle{ y=y(x),}\) a współczynniki (funkcyjne) \(\displaystyle{ f_0,\dots,f_n}\) oraz prawa strona \(\displaystyle{ f}\) są znane.

mennandore · Post autor: **mennandore** » 3 paź 2011, o 16:03

chodzi mi też o formalne rozróżnienie co w takim razie znaczy "liniowość" równania a co "rząd" i jak sie do tego mają operatory liniowe

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 paź 2011, o 19:44

Liniowość polega na tym, że jeśli rozważymy równanie jednorodne, tj. z prawą stroną zerową, to operator po lewej stronie jest liniowy. Jest to operator postaci

\(\displaystyle{ T(y)=\sum_{k=0}^nf_ky^{(k)}}\)

Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej występującej w równaniu.

mennandore · Post autor: **mennandore** » 4 paź 2011, o 01:21

a skąd bierze się zasada superpozycji, tzn że rozwiązanie równania linowego jest kombinacją liniową innych rozwiązań? Jakoś bezpośrednio z warunku liniowości? PS. Co to w ogólnym przypadku znaczy "rozwiązanie równania liniowego" - co "tym" może być ?

-- 5 października 2011, 15:36 --

Gdzieś w internecie znalazłem definicje:

Równania różniczkowe zwyczajne liniowe - równania zwyczajne złożone z pochodnych dowolnych rzędów nie będących argumentami innych funkcji

np. równanie ln(y')+y=1 nie jest równaniem zwyczajnym liniowym

Napisane jest "argumentami innych funkcji" - w przypadku logarytmu, zgoda, a co jeśli są argumentami ale funkcji liniowych - tzn działają na nie operatory liniowe - przecież można potraktować że niewiadomą jest y, a stoi przed nią operator liniowy różniczkowania. Co jakby tam była np. całka? Też wtedy można powiedzieć że jest to rownanie liniowe?