indukcja matematyczna

[pacia1620]

hej
może ktoś mi pomoc zrozumieć o co w tym chodzi ?

stosując zasady indukcji matematycznej wykaż prawdziwość następujących nierówności:
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \ldots \frac{2n-1}{2n} \le \frac{1}{ \sqrt{2n+1} }}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}}\)


wydaje mi się ze należy w pierwszym kroku postawić za n=1
czy w a) wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{3}{16} \le \frac{1}{ \sqrt{3} }}\)
czyli jest to prawdziwe i co dalej nalezy zrobic prosze o pomoc ! )

[kropka+]

a)
\(\displaystyle{ n=1 \Rightarrow \frac{1}{2} \le \frac{1}{ \sqrt{3} }}\)

i ta nierówność jest prawdziwa.

[Justka]

w a) dla \(\displaystyle{ n=1}\), mamy

\(\displaystyle{ \frac{2\cdot 1 -1}{2} \le \frac{1}{\sqrt{2\cdot 1 + 1}}}\), czyli jest okay

założenie \(\displaystyle{ T(n): \ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}}\)

teza \(\displaystyle{ T(n+1): \ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \le \frac{1}{\sqrt{2(n+1)+1}}}\)

I pokazujemy prawdziwość implikacji: \(\displaystyle{ T(n) \Rightarrow T(n+1)}\), czyli przekształcamy lewą stronę tezy indukcyjnej tak, aby korzystając z założenia dojść do jej prawej strony.
Przejrzyj kilka podobnych tematów z tego działu i spróbuj zrobić ten przykład samodzielnie

przykład b) analogicznie.

[pacia1620]

hm a dlaczego tam jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{1}{ \sqrt{3} }}\)?
i nie bierzemu pod uwage przy mnozeniu tych pocztkowych ułamków?

-- 3 paź 2011, o 12:56 --

a mozesz mi wytlumaczyc jak dojsc do tej prawek strony kozystajac jeszcze z zalozenia ? ja przegladalam podobne watki ale naprawde nie amm pojecia jak to zrobic... -- 3 paź 2011, o 12:57 --wystarczy to wymnozyc?

[Justka]

w tym iloczynie \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}}\), czynnik \(\displaystyle{ \frac{2n-1}{2n}}\), pokazuje nam, że czynniki tego iloczynu tworzone są poprzez podstawienie za \(\displaystyle{ n}\) odpowiednich liczb naturalnych, zatem dla \(\displaystyle{ n=1}\), masz \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 1-1}{2 \cdot 2}= \frac{1}{2}}\) (czyli pierwszy czynnik).

dla \(\displaystyle{ n=2}\) byłoby \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}\), inaczej bierzemy pod uwagę po prostu iloczyn dwóch pierwszych czynników.

[Lbubsazob]

Zad. 2
263288.htm - drugi post w tym temacie. Pewnie oprócz tego było jeszcze 43144 razy.

[pacia1620]

Zad. 2
263288.htm - drugi post w tym temacie. Pewnie oprócz tego było jeszcze 43144 razy.

dziekuje za to zadanie
tylko mam pytanie rozumiem ze pozniej trzeba podstawic n+1 czy jest :
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} ....+ \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}}\)

a pozniej skad sie bierze to kolejne rownanie?
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} ....+ \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1)(n+2)} = \frac{n}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)

szczególnie to po znaku rownosci nie wiem skąd \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\) ?

-- 3 paź 2011, o 16:54 --

moze ktoś pomóc

[Lbubsazob]

Jeżeli założyliśmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_+}\) prawdziwe jest
\(\displaystyle{ \color{blue}\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4} +\ldots+ \frac{1}{n(n+1)} \color{black}=\color{red}\frac{n}{n+1}}\),
to później korzystamy z tej tezy przy sprawdzaniu dla \(\displaystyle{ n+1}\).

Dla \(\displaystyle{ n+1}\) musimy sprawdzić, czy zachodzi:
\(\displaystyle{ \color{blue} \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4} +\ldots+ \frac{1}{n(n+1)} \color{black}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}}\)
i w miejscu tego niebieskiego wstawiamy to czerwone, więc jest
\(\displaystyle{ \color{blue} \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4} +\ldots+ \frac{1}{n(n+1)} \color{black}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} =\color{red}\frac{n}{n+1}\color{black}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\).

[pacia1620]

hm coś mi tu nie chce wyjść
jeśli dobrze to zrozumiałam to zrobiłam tak :
\(\displaystyle{ \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+2)}{(k+2)(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}}\)
a to musi byc= \(\displaystyle{ \frac{k+1}{k+2}}\) tak ?

[Lbubsazob]

Dobrze masz przecież, tylko musisz to doprowadzić dalej.
\(\displaystyle{ \frac{k(k+2)}{(k+2)(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}= \frac{\left( k+1\right)^2 }{(k+1)(k+2)}= \frac{k+1}{k+2}}\)

[pacia1620]

faktycznie ! ciagle robiłam ten sam błąd ;p dziekii !!:D

-- 3 paź 2011, o 21:45 --

a czy pod. a) wygląda później tak :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot .... \cdot \frac{2n-1}{2n} \le \frac{1}{ \sqrt{2n+1} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2n+1} } \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} = \frac{2n+1}{( \sqrt{2n+1))(2n+2)} }}\)