Udowodnić nierówność

[pawellogrd]

Witam, mam problem z udowodnieniem tej nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + ... + \frac{1}{n ^{2}} \le 2 - \frac{1}{n}}\)

W kroku 1 sprawdziłem dla n=1, że wszystko się zgadza. Dalej zapisałem tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + ... + \frac{1}{n ^{2}} \le 2 - \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + ... + \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{(n+1) ^{2}} \le 2 - \frac{1}{n+1}}\)

Niestety nie bardzo wiem co dalej działać...będę wdzięczny za wszelką pomoc. Z góry dzięki!

Mam też pytanie odnośnie tego:

\(\displaystyle{ n!>2^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)

Oczywiście sprawdziłem dla n=4, że jest OK. Teraz zapisałem tak:

\(\displaystyle{ n!>2^{n} \Rightarrow (n+1)!>2^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ (n+1)!=n!(n+1)>2 \cdot 2^{n}}\)

Teraz moje uzasadnienie brzmiałoby tak: skoro \(\displaystyle{ n!>2^{n}}\) i \(\displaystyle{ n+1>2}\) to \(\displaystyle{ n!(n+1)>2 \cdot 2^{n} \Rightarrow (n+1)!>2^{n+1}}\)

Czy to poprawnie przeprowadzony dowód, czy też należałoby to jednak jakoś inaczej zapisać? Jeśli inaczej to jak?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ n!>2^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)

Oczywiście sprawdziłem dla n=4, że jest OK. Teraz zapisałem tak:

\(\displaystyle{ n!>2^{n} \Rightarrow (n+1)!>2^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ (n+1)!=n!(n+1)>2 \cdot 2^{n}}\)

Teraz moje uzasadnienie brzmiałoby tak: skoro \(\displaystyle{ n!>2^{n}}\) i \(\displaystyle{ n+1>2}\) to \(\displaystyle{ n!(n+1)>2 \cdot 2^{n} \Rightarrow (n+1)!>2^{n+1}}\)

Czy to poprawnie przeprowadzony dowód, czy też należałoby to jednak jakoś inaczej zapisać? Jeśli inaczej to jak?

Dowód poprawny, choć niezbyt szczęśliwie zapisany. Lepiej byłoby tak:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ n!>2^{n}}\). Wtedy \(\displaystyle{ (n+1)!=n!(n+1)>(n+1)2^n>2\cdot2^n=2^{n+1}}\) (gdzie pierwsza nierówność wynika z założenia indukcyjnego, a druga z faktu, że skoro \(\displaystyle{ n\ge 4}\), to \(\displaystyle{ n+1>2}\)), co kończy dowód kroku indukcyjnego.

JK

[Lbubsazob]

Zad. 1
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność jest oczywiście prawdziwa. Zakładamy, że dla \(\displaystyle{ n}\) jest prawdziwa, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}}\).
Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ n+1}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2} = 2-\frac{n^2+3n+1}{n(n+1)^2} \le 2- \frac{n^2+n}{n(n+1)^2} =2- \frac{1}{n+1}}\)
Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.

[pawellogrd]

Dziękuję bardzo

Mam także prośbę o sprawdzenie kolejnego dowodu, który przeprowadziłem i o pomoc w następnym, który nie bardzo potrafię przeprowadzić:

Dowód 1: \(\displaystyle{ (1+x)^{n} \ge 1+nx}\) dla \(\displaystyle{ x \ge -1}\) oraz \(\displaystyle{ n \in N}\) (gdzie N - zbiór liczb naturalnych).

Moje rozwiązanie:

1. Sprawdzenie dla n=1 (wychodzi na to, że się zgadza wszystko)
2. \(\displaystyle{ (1+x)^{n} \ge 1+nx \Rightarrow (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x}\)

\(\displaystyle{ (1+x)^{n+1} = (1+x)^{n}(1+x) \ge (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^{2}=}\)
\(\displaystyle{ =1+(n+1)x+nx^{2} \ge 1+(n+1)x}\)

Dowód 2 (ten problematyczny): \(\displaystyle{ n!<(\frac{n}{2})^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 6}\)

Tu tradycyjnie sprawdziłem dla n=6 i się zgadza. A następnie:

\(\displaystyle{ n!<(\frac{n}{2})^{n} \Rightarrow (n+1)!<(\frac{n+1}{2})^{n+1}}\).

Jedyne co jeszcze zapisałem to:

\(\displaystyle{ (n+1)!=n!(n+1)<(\frac{n}{2})^{n}(n+1)=...}\) i dalej brakuje mi już pomysłu. Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc

[patryk_elk]

Lbubsazob, pomysł dobry aczkolwiek mały błąd....

Zad. 1
(1) Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ n+1}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2} = \red 2-\frac{n^2+3n+1}{n(n+1)^2}}\)(2)
Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.

(1) Raczej nie wynika to dla każdego n+1, tylko wynika to z dodania do obu stron założenia indukcyjnego wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( n+1\right)^2 }}\)

(2) Raczej \(\displaystyle{ 2- \frac{n ^{2}+n+1 }{n(n+1)^{2}}=2- \frac{n(n+1)+1}{n(n+1)^{2}}= 2- \frac{1}{n+1}- \frac{1}{n(n+1)^{2}} \le 2- \frac{1}{n+1}}\)

I tak manewrując założeniem indukcyjnym udowodniliśmy tezę, bo to co nam wyszło jest z pewnością mniejsze od prawej strony tego, co wyszło po podstawieniu n+1 ( jeżeli a<b i b<c to a<c)

[Lbubsazob]

Zgadza się, literówka, powinno być tak:
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{\left( n+1\right)^2 }=2- \frac{n^2+n+1}{n\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{n^2+n}{n\left( n+1\right)^2 }=2- \frac{1}{n+1}}\)

[pawellogrd]

Ok dzięki Jakby ktoś jeszcze te 2 kolejne dowody mógł sprawdzić co napisałem w przedostatnim poście (przed tym) w tym temacie to byłbym wdzięczny

[Jan Kraszewski]

1. Sprawdzenie dla n=1 (wychodzi na to, że się zgadza wszystko)
2. \(\displaystyle{ (1+x)^{n} \ge 1+nx \Rightarrow (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x}\)

\(\displaystyle{ (1+x)^{n+1} = (1+x)^{n}(1+x) \ge (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^{2}=}\)
\(\displaystyle{ =1+(n+1)x+nx^{2} \ge 1+(n+1)x}\)

OK.

Dowód 2 (ten problematyczny): \(\displaystyle{ n!<(\frac{n}{2})^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 6}\)

Tu tradycyjnie sprawdziłem dla n=6 i się zgadza. A następnie:

\(\displaystyle{ n!<(\frac{n}{2})^{n} \Rightarrow (n+1)!<(\frac{n+1}{2})^{n+1}}\).

Jedyne co jeszcze zapisałem to:

\(\displaystyle{ (n+1)!=n!(n+1)<(\frac{n}{2})^{n}(n+1)=...}\) i dalej brakuje mi już pomysłu. Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc

Zastanawiasz się, czy

\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{2}\right) ^{n}(n+1)\stackrel{?}{\le}\left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n+1}}\)

Przekształcamy równoważnie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{2}\right) ^{n}(n+1)\stackrel{?}{\le}\left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n}\left( \frac{n+1}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ 2\left( \frac{n}{2}\right) ^{n}\stackrel{?}{\le}\left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ 2n^n\stackrel{?}{\le}(n+1) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ 2\stackrel{?}{\le}\left( \frac{n+1}{n}\right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ 2\stackrel{?}{\le}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\)

No i teraz trzeba skorzystać z tego, że ciąg \(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\) rośnie do \(\displaystyle{ e}\).

JK

Edit: Zamiast korzystać z monotoniczności ciągu, wystarczy w ostatnim przejściu skorzystać z nierówności Bernoulliego (nie ma to jak przekombinować...).