Równania i nierówności z wartością bezwzględną.

[Annie16]

Siemano,
wiem mniej więcej o co chodzi w tych przykładach, tylko później pojawiają się wątpliwości w obliczeniach.

1) \(\displaystyle{ \left| x - 1\right| ^{3} = x - 1}\). I tak tutaj mogę założyć coś takiego?: \(\displaystyle{ \left| x - 1\right| ^{3} = \left| x - 1\right|}\) i wtedy przyjąć pomocniczą niewiadomą \(\displaystyle{ \left| x - 1\right| = t, t ^{3} = t \Leftrightarrow t ^{3} - t = 0 \Leftrightarrow t ^{2} \left( t - 1\right) = 0}\) . No i siedzę.

2)\(\displaystyle{ \left| x - 1\right| ^{3} \ge \left| x - 1\right|}\) I tutaj znowu przyjęłabym pomocniczą niewiadomą, tylko nie wiem, co dalej.

Z góry dzięki za wszelkie podpowiedzi i wskazówki.

[bartek118]

1. Zauważ, że rozwiązania są wtedy, jeśli \(\displaystyle{ x-1 \ge 0}\)

2. Jeśli masz taką nierówność to tak jak napisałaś - zmienna pomocnicza

[Erurikku]

2)
\(\displaystyle{ |x-1| = t\ \hbox{dla} \ t \ge 0}\)

\(\displaystyle{ t^{3} \ge t \\
t^{3} - t \ge 0 \\
t (t^{2} -1) \ge 0 \\
t(t-1)(t+1) \ge 0 \\
t \in \langle -1,0 \rangle \cup \langle 1, \infty )}\)
Po uwzględnieniu dziedziny.
\(\displaystyle{ t \in \langle 1, \infty ) \cup \lbrace 0 \rbrace}\)

[Annie16]

Erurikku - wydaje mi się, że zrobiłeś to źle, ponieważ odpowiedź prawidłowa powinna brzmieć: \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; 0\right> \vee \left\{ 1\right\} \vee \left< 2; + \infty \right)}\).

Chyba, że masz dobrze, ale ja nie potrafię tego przestawić pod x.

Natomiast Bartek, kurczę nadal nie wiem.

[Erurikku]

Erurikku - wydaje mi się, że zrobiłeś to źle, ponieważ odpowiedź prawidłowa powinna brzmieć: \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; 0\right> \vee \left\{ 1\right\} \vee \left< 2; + \infty \right)}\).

Robię więc dalej:
\(\displaystyle{ t \in \langle 1, \infty ) \cup \lbrace 0 \rbrace \\
|x-1| \ge 1 \vee |x-1|=0 \\
x-1 \ge 1 \vee x-1 \le -1 \vee x-1 = 0 \\
x \ge 2 \vee x \le 0 \vee x=1 \\
x \in (- \infty, 0 \rangle \cup \left\{ 1\right\} \cup \langle 2, \infty)}\)

Annie16 - a jednak dobrze.

[Annie16]

Ok. Myślałam, że można to rozwinąć. Dzięki.