[Planimetria] Fakcik o biegunowych

[chechlacz]

Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\)wpisany w okrąg \(\displaystyle{ o}\). Oznaczamy \(\displaystyle{ K=AB \cap CD, L=AD \cap BC, M=AC \cap BD}\). Udowodnić, że\(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ M}\) leżą na biegunowej punktu \(\displaystyle{ K}\).

[KPR]

Ukryta treść:    

Wykonajmy rzutowanie takie, aby prosta KL przeszła na prostą w nieskończoności. Następnie przekształcamy afinicznie, żeby okrąg opisany na ABCD (który przeszedł na elipsę lub okrąg) z powrotem przeszedł na okrąg. Wtedy ABCD przechodzi na równoległobok wpisany w okrąg, czyli na prostokąt, a styczne do okręgu przechodzące przez K przechodzą na styczne równoległe do obrazów boków AB i CD. Teraz łatwo udowodnić, że ich punkty styczności są współliniowe z obrazem M i z obrazem L (który znajduje się na prostej w nieskończoności). Zatem punkty styczności stycznych przechodzących przez K są współliniowe z L i M, c.k.d.