Nierówność sigma<2

[Artist]

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(i+1)\sqrt{i}}<2}\)

[czeslaw]

Indukcja, dla n=1 działa.
Dla n=k+1 działa, jeśli dla n=k działa.
Nie będę pisał przekształceń, bo trochę mi to zajęło, sorry. Jakbyś miał problemy to pisz.

edit: źle, jednak mi nie wyszło, błąd w obliczeniach

[Dolin]

\(\displaystyle{ \frac{1}{(i+1)* \sqrt{i} } < \frac{1}{( \sqrt{i} +1)* \sqrt{i} }}\) dla dowolnego i > 1 ( dla i = 1 zachodzi równość).
Z kolei oczywiste jest, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{i} *( \sqrt{i} +1)} < 1}\).

[abc666]

Dolin, nie masz racji

\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{i+ \sqrt{i} } > \sum \frac{1}{2i}}\)

Artist, wyłącz \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) , rozbij na różnice dwóch ułamków i pokombinuj z ograniczeniem

Tak w ogóle to jest zadanie z wędrówek

[Dolin]

Nie za bardzo rozumiem...

[abc666]

Chodzi o to że

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{i} \cdot ( \sqrt{i} +1) }= \frac{1}{i+ \sqrt{i} }}\)
a to jest większa dla każdego \(\displaystyle{ i>1}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{2i}}\)a suma \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i}}\) to suma częściowa szeregu harmonicznego który jest rozbieżny, wiec nie możesz dać żadnego ograniczenia bo ta suma może przyjąć dowolnie dużą wartość

[Dolin]

Masz rację