parametr K

[Szlug]

Dla jakiego parametru k równanie

\(\displaystyle{ (k+1)4 ^{x} +2 ^{x}+k+1=0}\)

ma co najmniej jedno rozwiązanie

[chlorofil]

Standardowe zadanie, trzeba oczywiście podstawić \(\displaystyle{ t=2^{x}}\) i \(\displaystyle{ t>0}\). Dalej już rozwiązujesz równanie kwadratowe z parametrem i z podanym warunkiem. Pokaż swoje obliczenia, wtedy je sprawdzimy.

[Mersenne]

\(\displaystyle{ k\in \left<-\frac{3}{2}; -1 \right)}\)

[piasek101]

,,Standardowe" tu tak się okaże - po sprawdzeniu co by się działo gdyby (po podstawieniu) nie było kwadratowe.

[Szlug]

Ja to rozwiązuje tak
1) podstawiam t
2) liczę deltę wychodzi mi\(\displaystyle{ -4k ^{2} + 8k +5}\)
3) liczę deltę dla k wychodzi mi 144 a pierwiastek z niej 12
4) obliczam \(\displaystyle{ k1= -\frac{1}{2}}\) oraz k2=2,5
5) rysuje wykres i odczytuje gdzie wykres jest nad osią

Dobrze myślę? Gdzie mam błąd

[chlorofil]

Ja to rozwiązuje tak
1) podstawiam t
2) liczę deltę wychodzi mi\(\displaystyle{ -4k ^{2} + 8k +5}\)

Źle. \(\displaystyle{ \Delta=1-4(k+1) ^{2}=1-4(k^{2}+2k+1)=1-4k^{2}-8k-4=-4k^2-8k-3}\)

Oprócz tego musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ t>0}\). Hint: wzory Viete'a.

Słusznie ktoś również zauważył, że trzeba osobno rozpatrzeć przypadek, w którym równanie po podstawieniu jest równaniem liniowym, czyli gdy \(\displaystyle{ k+1=0}\).

[Szlug]

wyszło mi ze k należy od <-1.5; -0,5>

[chlorofil]

Źle. Twoja odpowiedź wychodziłaby z warunku \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) ale nawet gdybyś rozpatrywał tylko ten warunek to jest ona niepoprawna, bo aby mówić o równaniu kwadratowym, musi być (w tym przypadku) \(\displaystyle{ k \neq -1}\). Nawet jak już to uwzględnisz, to odpowiedź i tak jest niepoprawna, ponieważ nie uwzględniłeś założenia, że \(\displaystyle{ t>0}\). Odpowiedź Marsene jest poprawna.

[Szlug]

czy może mi ktoś napisać jakie powinny być warunki bo taki pisanie nie pomaga mi wiem ze to dla was proste ale ja się uczę i chyba od tego to forum jest. kompletnie już nie wiem co robić z tym zadaniem. Udzieli mi ktoś pomocy krok po kroku

[piasek101]

Podstawić.
1) sprawdzić czy działa dla \(\displaystyle{ k=-1}\) (nie działa)

2) dla pozostałych (k)

a) \(\displaystyle{ \Delta =0}\) z tego dostaniesz (k) i sprawdzasz czy dla otrzymanych jest jakieś dodatnie (t), jeśli jest to masz (k) do odpowiedzi.

b) \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i tu dokładasz warunek z Viete'a

I) aby jedno (t) było dodatnie
II) aby oba (t) były dodatnie.

[chlorofil]

Można nieco prościej. Wyjściowe równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy równanie:
\(\displaystyle{ (k+1)t^2+t+(k+1)=0}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.

Rozważmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ k=-1}\). Mamy wtedy: \(\displaystyle{ t=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2^x=0}\). Równanie to nie ma rozwiązań, bo wiemy, że funkcja wykładnicza przyjmuje wartości nieujemne (por. podstawowe własności f. wykładniczej).

Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ k \neq -1}\). Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(\displaystyle{ \Delta=-k^2-8k-3}\)

Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie, musi być:

\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)

Z tego dostajemy \(\displaystyle{ k \in \left< -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right> \setminus \left\{ -1 \right\}}\).

Teraz pozostaje odrzucić rozwiązania, dla których \(\displaystyle{ x _{1} \le 0}\) i \(\displaystyle{ x _{2} \le 0}\). Warunek ze wzorów Viete'a:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{b}{a} \ge 0 \\ \frac{c}{a} \ge 0 \end{cases}}\). Z tego warunku wychodzi, że \(\displaystyle{ k \ge 1}\) i te wartości należy odrzucić.

[Szlug]

ok udało mi się to zrozumieć (NARESZCIE) )))))
wielkie dzięki jesteście super