Pole grawitacyjne dwóch kul

[Maciek.mat]

Dwie kule, pierwsza o masie 1 kg i druga o masie 2 kg, znajdują się w przestrzeni kosmicznej w odległości 1 m od siebie. Tworząc własne niezakłócone żadnym innym ciałem pole grawitacyjne, zaczęły się przyciągać. Oblicz czas, po jakim się dotkną wiedząc, że pierwsza kula ma promień równy 10 cm, a druga 15 cm.
Zapomniałem się zapytać, czy ktoś ma pomysł na rozwiązanie tego zadania.

[Wasilewski]

Chyba najprościej jest to zagadnienie rozwiązać w układzie środka masy, a więc takim, w którym suma pędów jest zerowa. Dzięki tym zależnościom można w tym układzie wyznaczyć zależność prędkości ciała pierwszego od prędkości drugiego, analogicznie dla ich położeń. Wystarczy teraz zapisać zasadę zachowania energii i rozwiązać otrzymane równanie różniczkowe (będą w nim występowały jedynie zmienne opisujące jedno z ciał, ale wyliczenie wartości dla drugiego nie powinno sprawić problemu).

[Maciek.mat]

Całki idą w ruch, ale jak wyglądałoby to "najprostsze" rozwiązanie. Środek masy jest w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) odległości od środka większej masy, ale nie znaczy, że obie masy poprzez wzajemne przyciąganie dotkną się w tym punkcie. Nie wiem, czy sumę pędów będzie można bezwarunkowo przyjąć za zerową. Siła narasta wraz z kwadratem odległości dzielącej środki tych mas, jest dla obu jednakowa. Ich masy sprawiają, że doznają różnych przyspieszeń. Zaznaczam, że to jest tylko moje analizowanie ruchu i dlatego nie przyjmuję za pewnik w takiej sytuacji zasadę zachowania pędu, energia natomiast jest warunkiem ruchu, więc może w tym układzie pozostaje niezmienna. Dlatego staje się istotne wykazanie tego za pomocą całek.

[Wasilewski]

Przyjmujemy środek układu w środku masy, zatem:
\(\displaystyle{ \vec{0} = m_{1} \vec{r_{1}} + m_{2} \vec{r_{2}}}\)
Jak to zróżniczkujemy obustronnie do dostaniemy:
\(\displaystyle{ \vec{0} = \vec{p_{1}} + \vec{p_{2}}}\)
To chyba wystarczające uzasadnienie na to, że suma pędów jest zerowa i, co z tego wynika, zachowana.
Spróbuj napisać jakieś równania i korzystając z powyższych zależności doprowadź je do takiej postaci, by zależały od zmiennych opisujących tylko jedną z kul.

[Maciek.mat]

Nie za bardzo umiem całkować, więc tu chyba nic nie zrobię. A z tym zachowaniem pędów nie za bardzo mnie wtedy przekonało, bo prędkość jest zmienna, a ta zasada kojarzy mi się z sytuacjami, gdzie prędkości ciał niezmieniają się wraz z pokonywaniem drogi. Od tej pory będę jednak polegał Twoim wyniku, tzn. suma pędów jest równa zero.

[Wasilewski]

Naszym celem jest wyznaczyć zależność położeń środków obu kul od czasu; gdy już ją uzyskamy, to łatwo będzie można obliczyć czas do zetknięcia, bo będziemy też wtedy znać odległość między środkami kul w funkcji czasu. Najpierw jednak wypadałoby napisać choć jedno równanie, ponieważ bez tego na pewno do niczego nie dojdziemy. Jak będą jakieś problemy z całkowaniem, to pomogę, jeśli będę umiał.

[Maciek.mat]

Wiemy, że przyspieszenie wzrasta wraz z kwadratem odległości pomiędzy środkami obu mas, czyli \(\displaystyle{ a _{1} = \frac{G m_{1} m_{2}}{r ^{2} m_{1}} = \frac{G m_{2}}{r ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ a _{2} = \frac{G m_{1} m_{2}}{r ^{2} m_{2}} = \frac{G m_{1}}{r ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2} a t ^{2}}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} = \frac{2r}{a}}\)
I co z tego mam zrobić? Jak wezmę całkę przyspieszenia po odległości dzielącej środki mas, to czy otrzymam prawdziwą zależność: \(\displaystyle{ t^{2}= \int_{}^{} \frac{2}{a} \mbox{d}r = \int_{}^{} \frac{2r ^{2}}{ G m_{1}} \mbox{d} r = \frac{2}{ G m_{1} } \int_{}^{} r ^{2} = \frac{2 r^{3} }{3 G m_{1}}}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{2 r^{3} }{3 G m_{1}} }}\)
Teraz wystarczy, że drogę przedstawimy jako różnicę między odległością środków mas a sumą ich promieni, więc: \(\displaystyle{ s = r - ( r_{1} + r _{2} ) = r - r_{1} - r _{2}}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{2 s^{3} }{3 G m_{1}} }}\)
Co do poprawności nie mam pewności i czy w ogóle należałoby całkować przyspieszenie?

[Wasilewski]

Wypadałoby postępować jakoś sensownie, a nie coś całkować i liczyć na to, że przypadkiem wyjdzie dobry wynik. Rada jest taka, żeby równanie opisujące zasadę zachowania energii dla tych dwóch kul, będą w nim występowały zmienne \(\displaystyle{ r_{1}, r_{2}, v_{1}, v_{2}}\). Jednak dzięki wyborowi układu środka masy dostajemy dodatkowe równania, które pozwalają pozbyć się zmiennych opisujących drugie z ciał. Skorzystaj z tego i spraw, by w równaniu pozostały jedynie zmienne \(\displaystyle{ r_{1} \ i \ v_{1}}\), będzie to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, gdyż \(\displaystyle{ v_{1} = \frac{dr_{1}}{dt}}\). Jak już do tego dojdziesz, to postaram się otrzymane równanie rozwiązać. Potem trzeba będzie wykonać podobny manewr dla drugiej z kul, a następnie już prosta droga do podania wyniku.

[Maciek.mat]

To prawda, myślałem, że coś wymodzę i otrzymam faktyczny czas, ale chyba nie, bo przeciez oba ciała poruszają się we wzajemne strony (do siebie) i tu siła się zwiększa bardziej, niżby jedno ciało było jakby do czegoś przymocowane, a przecież oba swobodnie mogą się przemieszczać. \(\displaystyle{ r _{1}}\) i \(\displaystyle{ r _{2}}\) to u mnie promienie obu kul, ale może być też droga, tak jak u Ciebie. Ja ciągle nie wiem, czy ten środek masy układu jest tu takim niezawodnym punktem odniesienia. Jeśli tak, to wnioskuję, że oba dojdą do środka masy w tym samym czasie, co zresztą nie zostało jakoś udowodnione. Możesz wyjasnić, dlaczego te równania mają być względem środka masy?

[Maciek.mat]

Wasilewski, chciałem najpierw podziękować za pomoc w tym zadaniu. Bardzo mnie zajmowało to zadanie, ciągle nad nim siedziałem i podążając Twoimi wskazówkami wyprowadziłem wzór na czas, ale nie mam pewności, czy jest słuszny. Zapisałeś, że pędy obu mas są sobie równe, powołując się na pochodne. Początkowo nie rozumiałem, skąd ten wniosek, ale po jakimś czasie zauważyłem, że siły działające na obie masy są równe oraz czas, przez jaki ta siła działa też jest jednakowy, bo w ogóle czas przemieszczania się kul do siebie jest taki sam. Wiadomo, że iloczyn siły i czasu to zmiana pędu. Pęd jest zerowy, dlatego końcowy moment, czyli dotknięcie się (zderzenie) jest równy po prostu iloczynowi siły i czasu:
\(\displaystyle{ F t = p _{k} - p _{p} = p _{k} = p}\)

\(\displaystyle{ F _{1} t _{1} = p _{1}}\)

\(\displaystyle{ F _{2} t _{2} = p _{2}}\)

\(\displaystyle{ F _{1} = F _{2} = F}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = t _{2} = t}\)

\(\displaystyle{ p _{1} = p _{2} = p = m _{1} v _{1} = m _{2} v _{2}}\)

Przyjmijmy takie oznczenia:
\(\displaystyle{ R}\) - odległość pomiędzy środkami mas na początku,
\(\displaystyle{ R _{1}}\) - promień pierwszego ciała,
\(\displaystyle{ R _{2}}\) - promień drugiego ciała,
\(\displaystyle{ s}\) - droga, jaką razem przebędą oba ciała,
\(\displaystyle{ R _{1} + r _{1}}\) - odległość pomiędzy środkami mas na końcu; może się zdarzyć, że ciała do siebie się całkowicie zbliżą, czyli na styk, dlatego \(\displaystyle{ r _{1} = R _{2}}\), bo tak maksymalnie mogą się do siebie zbliżyć oba ciała, nie odkształcając się.

Początkowa energia potencjalna obu ciał zmieni się w kinetyczną:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} E _{k} = E _{p} = G m _{1} m _{2} ( \frac{1}{R _{1} + r _{1} } - \frac{1}{R} ) = \frac{m _{1} v _{1} ^{2} }{2} + \frac{m _{2} v _{2} ^{2} }{2} \\ m _{1} v _{1} = m _{2} v _{2} \end{array}}\)

\(\displaystyle{ G m _{1} m _{2} ( \frac{1}{R _{1} + r _{1} } - \frac{1}{R} ) = \frac{p_{1} v _{1}}{2} + \frac{p _{2} v _{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2 G m _{1} m _{2} \frac{ R - ( R _{1} + r _{1} ) }{ R ( R _{1} + r _{1} ) } = p_{1} v _{1} + p _{2} v _{2} = p (v _{1} + v _{2} )}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2 G m _{1} m _{2} \frac{ R - ( R _{1} + r _{1} ) }{ R ( R _{1} + r _{1} ) } = ( v _{1} + v _{2} ) m _{1} v _{1} \\ v _{2} = \frac{m _{1} v _{1}}{ m _{2} } \end{array}}\)

\(\displaystyle{ 2 G m _{2} \frac{ R - ( R _{1} + r _{1} ) }{ R ( R _{1} + r _{1} ) } = v _{1} ( v _{1} + \frac{ m _{1} v _{1} }{ m _{2}} ) = v _{1} ^{2} \frac{ m _{1} + m _{2} }{ m _{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ 2 G m _{2} ^{2} ( R - ( R _{1} + r _{1} ) ) }{ ( m _{1} + m _{2} ) R ( R _{1} + r _{1} ) } = v _{1} ^{2}}\)

\(\displaystyle{ v _{1} = \sqrt{ \frac{ 2 G m _{2} ^{2} ( R - ( R _{1} + r _{1} )) }{ ( m _{1} + m _{2} ) R ( R _{1} + r _{1} ) } }}\)

Tak samo jest z drugą prędkością:

\(\displaystyle{ v _{2} = \sqrt{ \frac{ 2 G m _{1} ^{2} ( R - ( R _{1} + r _{1} )) }{ R ( R _{1} + r _{1} ) ( m _{1} + m _{2} ) }}}\)

Prędkość wypadkowa to suma prędkości obu tych ciał:

\(\displaystyle{ v _{w} = v _{1} + v _{2} = \sqrt{ \frac{ 2 G (m _{1} + m _{2}) ( R - R _{1} - r _{1} ) }{ R ( R _{1} + r _{1} ) }}}\)

Droga jest pokonywana dzięki tej prędkości wypadkowej:

\(\displaystyle{ s = R - ( R _{1} + r _{1} )}\)

\(\displaystyle{ v _{w} = \frac{ \mbox{d}s }{ \mbox{d}t }}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}t = \frac{ \mbox{d}s }{ v _{w} }}\)

\(\displaystyle{ t = \int_{}^{} \mbox{d}t = \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}s }{ v _{w} } = \int_{}^{} \frac{1}{v _{w} } \mbox{d}s = \int_{}^{} \sqrt{ \frac{ R ( R _{1} + r _{1} ) }{ 2 G (m _{1} + m _{2}) ( R - R _{1} - r _{1} ) }} \mbox{d}s = \int_{}^{} \sqrt{ \frac{ R ( R _{1} + r _{1} ) }{ 2 G (m _{1} + m _{2}) s }} \mbox{d}s = \sqrt{ \frac{ 4 s R ( R _{1} + r _{1} ) }{ 2 G (m _{1} + m _{2}) }}}\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{ 2 s R ( R _{1} + r _{1} ) }{ G (m _{1} + m _{2}) }} = \sqrt{ \frac{ 2 ( R - R _{1} - r _{1} ) R ( R _{1} + r _{1} ) }{ G (m _{1} + m _{2}) }}}\)

Jeżeli oba ciała mają się dotknąć, wzór będzie taki:

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{ 2 ( R - R _{1} - R _{2} ) R ( R _{1} + R _{2} ) }{ G (m _{1} + m _{2}) }}}\)

Po podstawieniu czas wyniesie:

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{ 2 ( 1 m - 0,1 m - 0,15 m) \cdot 1 m \cdot ( 0,1 m + 0,15 m ) }{ 6,67 \cdot 10 ^{-11} \frac{m ^{3} }{kg \cdot s ^{2} } ( 1 kg + 2 kg ) }} = 43290,4489295 s = 12 \ h \ 1 \ m \ 30,448925 \ s}\)

Teraz pytanie, czy dobrze zrobiłem pod względem fizycznym i matematycznym?