Pochodna z definicji

[Folmi]

Obliczyć z definicji \(\displaystyle{ g(x) = 3^{x}}\) w \(\displaystyle{ x_{0}}\)
Dziwne, wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\). Co zrobić po podstawieniu do wzoru?

[bartek118]

Pokaż jak liczysz, od początku

[józef92]

po podstawieniu do wzoru na pewno logarytmowac w pewnym momencie

[Folmi]

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{3 ^{x _{0} + h} - 3 ^{x _{0} } }{h} = \ \ ?}\)

[aalmond]

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{3 ^{x _{0} + h} - 3 ^{x _{0} } }{h} = 3 ^{x _{0}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{3 ^{h} -1}{h}}\)

Podstawienie:
\(\displaystyle{ 3 ^{h} -1 = t}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 3 ^{h} -1 = t \Rightarrow h = \log _{3}(1+t) \\ \\
\lim_{h \to 0}\frac{3 ^{h} -1}{h} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\log _{3}(1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{ \frac{1}{t} \cdot \log _{3}(1+t) } = \lim_{t \to 0} \frac{1}{ \log _{3}(1+t) ^{ \frac{1}{t} } } = \frac{1}{\log _{3} e} = \ln 3}\)