bezwględność w nierówności kwadratowej

[henryy1991]

Nie bardzo daje radę z trudniejszymi zadaniami z modułami, a konkretnie nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem:
bardzo bym prosił o rozwiązanie z opisem bo nie wiem gdzie popełniam błędy

\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)

[piti-n]

Musisz sprawdzić kiedy \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), a kiedy \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\)

[kamil13151]

Dziedzina. \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1; 1\right\}}\)

Obustronnie przez kwadrat mianownika:

\(\displaystyle{ |x^2-4x+3|(x^2-1) \le 1}\)

Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\)

\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \le 1}\)

Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \ge -1}\)

Teraz rozwiąż.

[Jan Kraszewski]

Obustronnie przez kwadrat mianownika:

\(\displaystyle{ |x^2-4x+3|(x^2-1) \le 1}\)

Czyżby? Uważasz, że wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-1}\) jest zawsze dodatnie? Poza tym co uważasz za kwadrat mianownika?

henryy1991, jak napiszesz swoje rozwiązanie, to będzie można sprawdzić, gdzie popełniasz błędy (kamil13151 napisał i od razu widać błąd...).

JK

[fon_nojman]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu pod modułem i wielomianu w mianowniku.

[kamil13151]

Ojej, co za bzdury ja napisałem, to chyba przez późną porę, wybaczcie Nie wiem czemu, ale przyjąłem że po prawej stronie mamy zero, skąd taki pomysł to pojęcia nie mam

Za to zamieszczam pełne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)

Dziedzina. \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1; 1\right\}}\)

1) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\), pamiętamy również dziedzinę.

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \le 1\\\\
\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)} \le 1\\\\
\frac{x-3}{x+1} \le 1\\\\
\frac{x-3}{x+1}- \frac{x+1}{x+1}\le 0\\\\
\frac{-4}{x+1}\le 0\\\\
-4(x+1)\le 0\\\\
x+1 \ge 0\\\\
x \ge -1}\)

Zgodnie z przedziałem i dziedziną rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)

2) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

\(\displaystyle{ \frac{-(x^2-4x+3)}{x^2-1} \le 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)

\(\displaystyle{ \frac{2x-2}{x+1} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)(x+1) \ge 0}\)

Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\), co filtrujemy z przedziałem i dziedziną, więc \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

Tak więc rozwiązaniem ostatecznym jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)

[henryy1991]

-- 14 sie 2011, o 12:13 --

1. przypadek rozumiem bo wyszło mi tak samo, ale w drugim nie wiem dlaczego zmieniłeś tam tak po prostu znak zamiast rozpisać to wszystko??
Nie wiem dlaczego po rozpisaniu wychodzi mi inny wynik.
Wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1} \le 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1}}\) \(\displaystyle{ - \frac{x^2-1}{x^2-1} \le 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-2x^2+4x-2}{x^2-1} \le 0}\)

\(\displaystyle{ (-2x^2+4x-2)(x^2-1) \le 0}\)

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x^2-1) \le 0}\)

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0}\)

coś takiego mi wychodzi i nie wiem jak do tego poprawnie wykres narysować?? można prosić o pomoc??

[kamil13151]

Ehh, co się ze mną dzieje, mały błąd z tym był, już poprawiłem wyżej, sorki .

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\
-2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)

Tak więc, zaczynamy od dołu prawej strony, ponieważ współczynnik jest ujemny. Przechodzimy przez 1 i -1, nie odbijamy, ponieważ pierwiastki są nieparzysto-krotne.
Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\)

[henryy1991]

Dobra już wszystko wiem;) Nie wiem czemu ale coś mi się w toku rozumowania poprzestawiało i w wyniku końcowym zamiast szukać części wspólnej to ja to zsumowałem.

Dzięki za pomoc. Zapewne odezwę się tu jeszcze nie raz xD
Podrawiam

-- 17 sie 2011, o 21:31 --

Jeszcze raz rozgrzebie ten temat bo nie wiem wiem jednej rzeczy;/

Patrząc na drugi przypadek: dla którego moduł = \(\displaystyle{ -x^2+4x-3 dla x \in (1;3)}\)

po przekształceniach na końcu mamy postać:

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\
-2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)

i po narysowaniu parabolki wychodzi że \(\displaystyle{ x \le -1 \vee x \ge 1}\)
po wyszukaniu części wspólnej z założeniem że \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
wychodzi część wspólna \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

tak więc dla pierwszego przypadku mamy:

\(\displaystyle{ x \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\)


a dla drugiego:

\(\displaystyle{ \in (1;3)}\)

\(\displaystyle{ TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST: X \in (-1;1) \cup <3; \infty ) ??!!}\)-- 17 sie 2011, o 21:37 --wybaczcie ale nie moge tego zrozumieć?? przecież x spełnia wymagania dla stawianych mu warunków, tzn dla jakich x sciągając moduł zmieniamy znaki, a dla jakich nie i skąd my tam w wyniku mamy przedział (-1;1) zamiast (1;3) bo ten drugi przedział z pierwszego przypadku mi się zgadza i nie mam co do niego zastrzeżeń ale mam problem z tym drugim.

Wszystko wskazuje mi na to że parabole źle rysuję, ale pytanie dlaczego źle??
współczynnik "a" jest ujemny więc parabola ma ramiona w dół które przechodza przez 1 i -1 i zaznaczam odbszar pod osią na lewo od -1 i na prawo od 1, a to zadanie tak wygląda jakby parabola miała isc w górę?? i tutaj mam pytanie czy dobrze to rysuje??

[chuckstermajster]

TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST:\(\displaystyle{ X \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\) ??!!

Moim zdaniem to rozwiązanie jest złe.

kamil13151 do zbioru rozwiązań nie dodał przedziału \(\displaystyle{ (1;3)}\) - czyli wyniku rozwiązania drugiej nierówności.

Jeśli obliczenia kamil13151 są słuszne, to zbiorem rozwiązań będzie każda liczba rzeczywista za wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)

Natomiast z całą pewnością mogę powiedzieć, że po podstawieniu \(\displaystyle{ 2}\) nierówność jest spełniona.

[melwerto]

A więc warunki 1 i 2 są dobre tylko suma ich wychodzi \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1\right) \cup \left( 1, \infty \right)}\)

[HaveYouMetTed]

hmm co by tu zrobić żeby się nie narobić...
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq 1 \\
\frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} \\
\frac{|x^{2}-4x+3|-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-4x+3 \geq 0 <=> x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty) \\
x^{2}-4x+3 \leq 0 <=> x \in (1;3) \\
1^{o} x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty ) \\}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-4x+3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\
\frac{-4x+4}{x^{2}-1} \leq 0 \\
-4x+4 \geq 0 \wedge x^{2}-1 <0 \\
x \leq 1 \wedge x \in (-1;1) \\
x \in (-1;1) \\}\)

\(\displaystyle{ lub \\
-4x+4 \leq 0 \wedge x^{2}-1 >0 \\
x \geq 1 \wedge x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty ) \\
\ x \in (1; + \infty) \\
czyli \ (1; + \infty) \cup (-1;1) = (-1; + \infty) \backslash \{ 1 \}}\)

\(\displaystyle{ 2^{o} x \in (1;3) \\
\frac{-x^{2}+4x-3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\
\frac{-2x^{2}+4x-2}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)

\(\displaystyle{ -2x^{2}+4x-2<0 <=> x \in R \backslash \{ 1 \} \\
x^{2}-1 >0 <=> x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty) \\}\)

\(\displaystyle{ [(- \infty; -1) \cup (1; + \infty) ] \cap [R \backslash \{ 1 \} ]=(- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)

lub

\(\displaystyle{ \{ 1 \} \cap (-1;1) = \emptyset}\)


końcowa odpowiedź:
\(\displaystyle{ [(-1; + \infty) \backslash [ R \backslash \{ 1 \} ]] \cup
(- \infty; -1) \cup (1; + \infty) = (- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)

[kamil13151]

HaveYouMetTed, źle.

TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST:\(\displaystyle{ X \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\) ??!!

Moim zdaniem to rozwiązanie jest złe.

kamil13151 do zbioru rozwiązań nie dodał przedziału \(\displaystyle{ (1;3)}\) - czyli wyniku rozwiązania drugiej nierówności.

Jeśli obliczenia kamil13151 są słuszne, to zbiorem rozwiązań będzie każda liczba rzeczywista za wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)

Natomiast z całą pewnością mogę powiedzieć, że po podstawieniu \(\displaystyle{ 2}\) nierówność jest spełniona.

Tak jest, zapomniałem przedziału dodać, ale na pewno zbiorem rozwiązania nie będzie \(\displaystyle{ R - \left\{ -1;1\right\}}\).

Także końcowy wynik to: \(\displaystyle{ x \in (-1;1) \vee (1;+ \infty )}\)

Na potwierdzenie moich słów:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28|x^2-4x%2B3|%29%2F%28x^2-1%29%3C%3D1