Pierścienie - własności

[q a]

Mam problem z takim zadanie:
Niech \(\displaystyle{ (R,\oplus, \otimes )}\) będzie pierścieniem. Pokaż, że:
Jeśli dla każdego \(\displaystyle{ a \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ a ^{2} = a}\), to dla każdego\(\displaystyle{ a \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ a \oplus a = 0}\)
\(\displaystyle{ R,\oplus, \otimes}\) - nie są zdefiniowane.

Mam problem dlatego, że skoro \(\displaystyle{ R}\) nie jest określone i raczej na pewno \(\displaystyle{ \oplus, \otimes}\) też. To czy w ogóle 0 i 1 są elementami neutralnymi. W standardowej interpretacji wydaje mi się, że ta teza jest nie prawdziwa, bo \(\displaystyle{ 1 \otimes 1=1}\), ale \(\displaystyle{ 1\oplus 1 !=0}\). Jedynie \(\displaystyle{ R = \{0,1\}}\) wydaje mi się, że w ogóle spełnia to.

[Jan Kraszewski]

A dlaczego uważasz, że \(\displaystyle{ 1+1\neq 0}\)?

JK

[q a]

\(\displaystyle{ 1 + 1 = 0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2}\). Najwyżej, że ten '+' jest jakoś zdefiniowany szczególnie. Nie widzę jednak tego z własności, że \(\displaystyle{ a^2 = a}\). Ciekawi, mnie czy ten \(\displaystyle{ a^2 = \underbrace{a\oplus \ldots \oplus a}_{\mbox{a razy}}}\). Nie jest dla mnie jasna w tym zadaniu definicja \(\displaystyle{ \oplus}\) i \(\displaystyle{ \otimes}\).

Próbowałbym, dlatego dowodzić tego poprzez \(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow ( \neg q \Rightarrow \neg p)}\)
Istnieje \(\displaystyle{ a \in R}\) \(\displaystyle{ a \oplus a \neq 0}\) to istnieje \(\displaystyle{ a \in R}\) \(\displaystyle{ a ^{2} \neq a}\)
Na razie jednak stanąłem w miejscu.

-- 19 wrz 2011, o 09:01 --

Double taki mam pomysł. Dowód wprost.

Wyjdźmy z równości
\(\displaystyle{ (a+a = a + a) \Leftrightarrow (a+a)^2 = (a+a)^2}\) Korzystam z faktu, że\(\displaystyle{ a^2 =a}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow (a^2 + 2a^2 + a^2) = 2a \Leftrightarrow (a^2 + 2a^2 + a^2) = (2a^2) \Leftrightarrow
a^2 + a^2 = 0 \Leftrightarrow a + a = 0}\)