Witam wszystkich forumowiczów. Chciałbym przedstawić zadanie z którym mam problem. Całkowicie go nie rozumiem. Czy może ktoś mi je wytłumaczyć krok po kroku i podać rozwiązanie?
Zadanie 5
Pokazać, że zbiór liczb zespolonych bez 0 z działaniem mnożenia jest grupą Liego?
\(\displaystyle{ (\mathbb{C}\backslash {0} ;\cdot)}\)
Grupa Liego.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Grupa Liego.
Definicja jest taka:
Grupa Liego to rozmaitość różniczkowa \(\displaystyle{ G}\) na której określono działanie
\(\displaystyle{ \odot: G\times G\to G,}\)
takie, że \(\displaystyle{ (G,\odot)}\) jest grupą, przy czym odwzorowania: \(\displaystyle{ \odot}\) oraz \(\displaystyle{ G\ni g\mapsto g^{-1}\in G}\) są odpowiedniej klasy.
Jeśli na przykład rozmaitość oznacza dla nas rozmaitość rzeczywistą klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty},}\) to należy pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}\setminus \{0\}}\) jest rzeczywistą rozmaitością różniczkową klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}}\) a następnie sprawdzić, że podane działanie zadaje strukturę grupy i, że działanie to, a także operacja odwracania są odwzorowaniami klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}.}\)
Grupa Liego to rozmaitość różniczkowa \(\displaystyle{ G}\) na której określono działanie
\(\displaystyle{ \odot: G\times G\to G,}\)
takie, że \(\displaystyle{ (G,\odot)}\) jest grupą, przy czym odwzorowania: \(\displaystyle{ \odot}\) oraz \(\displaystyle{ G\ni g\mapsto g^{-1}\in G}\) są odpowiedniej klasy.
Jeśli na przykład rozmaitość oznacza dla nas rozmaitość rzeczywistą klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty},}\) to należy pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}\setminus \{0\}}\) jest rzeczywistą rozmaitością różniczkową klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}}\) a następnie sprawdzić, że podane działanie zadaje strukturę grupy i, że działanie to, a także operacja odwracania są odwzorowaniami klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}.}\)