Trzy liczby ktorych suma jest rowna 28, tworza ciag geometry

[qwadrat]

Trzy liczby ktorych suma jest rowna 28, tworza ciag geometryczny. Liczby te sa rowniez kolejno wyrazami pierwszym, drugim i czwartym ciagu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Wiec mamy uklad rownan
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a _{1}+4r=28 \\ a _{1} \frac{1-q ^{3} }{1-q}=28 \end{cases}}\)

Mamy 3 niewiadome, wiec potrzebujemy 3 rownosci. Skad mozna wziasc trzecią bo jak narazie wychodzi tylko mi zaleznosc miedzy \(\displaystyle{ r}\) a \(\displaystyle{ q}\)

[ekonomistapn]

Można zrobić tak, żeby były 2 niewiadome. Skorzystaj z tego kiedy ciąg jest ciągiem geometrycznym, czyli jaka jest zależność pomiędzy pierwszym, drugim i trzecim wyrazem tego ciągu:

\(\displaystyle{ a_{2} ^{2} = a_{1} \cdot a_{3}}\)

A z tej zależności, że jest ciągiem arytmetycznym jednocześnie, zamień te wyrazy ciągu jako sumę \(\displaystyle{ a_{1} + r}\)

[qwadrat]

Powiedzcie gdzie robie blad bo nie wiem gdzie


\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}+ \sqrt{a _{1} a _{3} }+a _{3} =28 \\ 3a _{1}+4r=28\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{28-3a _{1} }{4}}\)

\(\displaystyle{ 2a _{1} +2r-28=- \sqrt{a _{1}a _{3} }}\)

\(\displaystyle{ 3a ^{2} _{1} -112a _{1}+784=0}\)

\(\displaystyle{ a _{1 _{1} } = \frac{112-56}{6} =9 \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ a _{1 _{2} } =28}\)

Wartosc \(\displaystyle{ a _{1}}\) w odpowiedziach w ksiazce jest inna niz ta co mi wychodzi

[chris_f]

Ciąg geometryczny: \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\). Ponieważ są to odpowiednio pierwszy, drugi i czwarty wyraz ciągu arytmetycznego, to \(\displaystyle{ a_1=a_1,a_2=a_1+r,a_3=a_1+4r}\). Teraz z podanej wyżej zależności \(\displaystyle{ a_2^2=a_1a_3}\) po podstawieniu otrzymamy
\(\displaystyle{ (a_1+r)^2=a_1(a_1+3r)}\)
\(\displaystyle{ a_1^2+2a_1r+r^2=a_1^2+3a_1r}\)
\(\displaystyle{ r^2-a_1r=0}\)
\(\displaystyle{ r(r-a_1)=0}\)
\(\displaystyle{ r=0\vee r=a_1}\)
Dla \(\displaystyle{ r=0}\) mamy oczywiście obydwa ciągi stałe (chyba, że coś jest w założeniach zadania). Gdy \(\displaystyle{ r=a_1}\) to mamy
\(\displaystyle{ a_1+a_1+r+a_1+3r=28}\)
\(\displaystyle{ 7a_1=28}\)
\(\displaystyle{ a_1=4}\)
i szukane liczby to \(\displaystyle{ 4,\ 8,\ 16}\).

[qwadrat]

\(\displaystyle{ a_1=a_1,a_2=a_1+r,a_3=a_1+4r}\)

nie rozumiem jak \(\displaystyle{ a_3}\) obliczyles

chyba masz blad, nie powinno byc \(\displaystyle{ a_3=a_1 +3r}\) ??

[chris_f]

Zgadza się, ale już linijkę niżej jest dobrze \(\displaystyle{ ...a_1(a_1+3r)}\).