Równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych

[LisuBB]

Mam 2 równania różniczkowe i prosiłbym o sprawdzenie poprawności ich rozwiązania.

\(\displaystyle{ (x-2)^3 \mbox{d}y - (y+1)^2\mbox{d}x=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-2)^3}\mbox{d}x=\frac{1}{(y+1)^2}\mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x-2)^3}\mbox{d}x=\int \frac{1}{(y+1)^2}\mbox{d}y}\)

Teraz po całkowaniu mamy:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2(x-2)^2}+C=-\frac{1}{y+1}}\)
Albo, jak kto woli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{y+1}=\frac{1}{2(x-2)^2}+C}\)
Skąd po przekształceniach otrzymujemy wzór funkcji:
\(\displaystyle{ y=\frac{-2Cx^2+8Cx-8C+2x^2-8x+7}{2Cx^2-8Cx+8C+1}}\)

Drugie równanie:
\(\displaystyle{ x\sqrt{1-y^2}\mbox{d}x+y\sqrt{1-x^2}\mbox{d}y=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{-y\mbox{d}y}{\sqrt{1-y^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{-y\mbox{d}y}{\sqrt{1-y^2}}}\)

Skąd po policzeniu całek otrzymujemy:
\(\displaystyle{ -\sqrt{1-x^2}+C=\sqrt{1-y^2}}\)

A stąd po przekształceniach ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji:
\(\displaystyle{ y= \pm \sqrt{2C\sqrt{1-x^2}+x^2-C^2}}\)

Z góry dzięki

[miodzio1988]

a to nie możesz wstawić tej funkcji do początkowego równania?

[LisuBB]

Mogę, ale myślę, że różniczkowanie funkcji otrzymanych jako rozwiązanie nie należy do najprzyjemniejszych rzeczy.
Sądzę, że w tym samym czasie to równanie ktoś chętny do pomocy rozwiązałby 10 razy.

[yorgin]

Równanie pierwsze wygląda ok. Czepię się jedynie zapisu.

\(\displaystyle{ \frac{1}{y+1}=\frac{1}{2(x-2)^2}+C}\)

Z tego lepiej przekształcić do postaci zwartej

\(\displaystyle{ y=\frac{2(x-2)^2}{1+2C(x-2)^2}-1}\)

niż robić wielkie tasiemncowe liczniki i mianowniki.



Drugie się zgadza, jednak wymaga drobnego komentarza. Z postaci równań wynika, że \(\displaystyle{ x,y\in [-1,1]}\). Zauważ również, że narzuca to ograniczenia na stałą C.