całka podwójna po obszarze

[grzywatuch]

witam mógłby mi ktoś to obliczyć?
oblicz całkę podwójną \(\displaystyle{ \iint xdxdy}\) po obszarze \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} -8x=0}\)

[aalmond]

wprowadź współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x = 4 + r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi}\)

[grzywatuch]

wiem, wiem, ale mógłbyś mi to rozwiązać całe?
Miałem takie coś na egzaminie , nie wiem czy dobrze mi wyszło i czy dobre mam granice całkowania etc.

[aalmond]

Pokaż, jak liczyłeś.

[grzywatuch]

\(\displaystyle{ q \in [- \frac{ \pi }{2} , \frac{ \pi }{2} ]\\
r \in [0,8\cos q]}\)
no i zacząłem granicę całkowania od \(\displaystyle{ dq}\) a później od \(\displaystyle{ dr}\). i wyszła mi liczba ujemna...

[aalmond]

W zależności od wprowadzonych zmiennych całka wygląda tak:

\(\displaystyle{ \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \left ( \int_{0}^{8 \cos q} r ^{2} \cos q \mbox{d}r\right )\mbox{d}q}\)
albo tak:

\(\displaystyle{ \int_{0 }^{ 2 \pi } \left ( \int_{0}^{4} r(4+r \cos \varphi \mbox{d}r\right )\mbox{d}\varphi}\)