liniowa niezależnośc wektorów własnych

[Majjada_25]

mam dowod liniowej niezależności wektorów własnych macierzy. Za pomoca dowodu nie wprost wykarzemy, że wektory \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2}, ... , y_{p}}\) sa liniowo niezależne. Zakladamy ze sa liniowo zalezne, czyli isteją liczby \(\displaystyle{ a_{1}, ... a_{p}}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{1} y_{1}+...+ a_{p} y_{p} = 0}\) oraz ( i właśnie tego nie rozumiem ) \(\displaystyle{ \left| a_{1} \right|+...+ \left| a_{p} \right| \neq 0}\). Prosze o pomoc w zrozumieniu tego ostatniego przejścia.

[Miroka]

Wektory \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2}, ... , y_{p}}\) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p}=0 \Rightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{p}=0}\) , czyli gdy wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_{i}}\) są zerami.
Zatem wektory te są liniowo zależne, gdy istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ... , a_{p}}\), które spełniają równanie \(\displaystyle{ a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p}=0}\) oraz nie spełniają warunku \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{p}=0}\), czyli nie wszystkie są zerami.
Jeżeli chociaż jedna z liczb \(\displaystyle{ a_{i}}\) jest różna od zera, to jej moduł jest dodatni. Pamiętając, że moduł dowolnej liczby nie może być ujemny, otrzymujemy zależność:
\(\displaystyle{ \left| a_{1} \right|+...+ \left| a_{p} \right| \neq 0}\)
Powyższy warunek jest tylko formalnym zapisem tego, że nie wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ... , a_{p}}\) są zerami.
Czy to wyjaśnienie jest jasne?

[Majjada_25]

tak bardzo dziekuje

[Chumanistka]

Nigdzie nie mogę znaleźć całego dowodu. Może ktoś potrafiłby go dokończyć?