Zbieżność całki

[darkmiki]

Należy zbadać zbieżność takiej oto całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{\sin^{2}x}{\sqrt{x^{5}}}\,\text dx}\)
Próbowałem zrobić to zadanie korzystając z kryterium porównawczego asymptotycznego, ale nie mogę znaleźć odpowiedniej funkcji. Czy mógłby ktoś pomóc?

[Lorek]

A dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0+}\frac{\sin^2 x}{x^a}=c\in (0,+\infty)}\) ?

[darkmiki]

Dla \(\displaystyle{ 0<a}\)? Czy z tego wynika rozbieżność tej całki? Taki dowód wystarczy?

[Lorek]

No chyba jednak nie, bo dla \(\displaystyle{ a=1}\) masz przecież 0 w granicy. Jaką znasz granicę w zerze z sinusem (taką dość znaną i często używaną)?

[darkmiki]

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x }{x} = 1}\)
Ah, rozumiem. Funkcją do której porównujemy będzie \(\displaystyle{ g(x)=\frac{ \sin ^ {2}x}{x^2}}\). Domyślam się, że całka tej funkcji jest zbieżna, ale jak tego dowieść? Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{ x \to a } g(x) \neq (\infty \vee -\infty)}\) ?

[Lorek]

Hm... szukamy takiej funkcji \(\displaystyle{ k(x)}\), żeby otrzymać \(\displaystyle{ \frac{\frac{\sin^2x}{\sqrt{x^5}}}{k(x)}=g(x)}\) (takie jak u ciebie). I wtedy zbieżność wyjściowej całki będzie równoważna zbieżności całki \(\displaystyle{ \int_0^\frac{\pi}{2}k(x)dx}\)

[darkmiki]

No dobrze, ale zbieżności całki \(\displaystyle{ \int_0^\frac{\pi}{2}k(x)dx}\) dowodzi się wykazując, że
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to a } k(x) \neq (\infty \vee -\infty)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest punktem osobliwym (w tym przypadku jest to 0)?

[Lorek]

Już raczej takiej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{A\to 0}\int_A^\frac{\pi}{2}k(x)dx}\)
(jak to w def. całki niewłaściwej).

[darkmiki]

A jeśli chodzi o granicę \(\displaystyle{ \lim_{A\to 0}\int_A^\frac{\pi}{2}k(x)dx}\) gdzie \(\displaystyle{ k(x)=\frac{ \sin ^ {2}x}{x^2}}\) wiadomo, że ona istnieje? Czy jej istnienie nie wynika z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin ^ {2}x}{x^2} = 1}\)? Czy może jeśli dostałbym takie zadanie musiałbym się bawić w obliczanie \(\displaystyle{ \int \frac{ \sin ^ {2}x}{x^2}}\)?

[Lorek]

A skąd ci się wzięło \(\displaystyle{ k(x)=\frac{sin^{2}x}{x^2}}\)?

[darkmiki]

Spytałeś mnie o granicę z sinusem w zerze. Z tego co wiem to taką granicą jest \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin x }{x} = 1}\).
Jeżeli funkcję którą mamy na początku podzielimy przez taką funkcję podniesioną do kwadratu zostanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x} }}\). Dla \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) granica takiego wyrażenia jest równa 0. To znaczy, że można porównywać zbieżność całki z funkcji \(\displaystyle{ \frac{\ \sin ^ {2}x}{\sqrt{x^{5}}}\,\text dx}\) do zbieżności całki z funkcji \(\displaystyle{ \frac{\ \sin ^ {2}x}{x^{2}}}\).
Czy to jest poprawny tok myślenia? Zdaje mi się, że całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{ \sin ^ {2}x}{x^2}}\) jest zbieżna... Ale jeśli się mylę to wytłumacz mi proszę metodę robienia tego typu zadań.

[Lorek]

Jeżeli funkcję którą mamy na początku podzielimy przez taką funkcję podniesioną do kwadratu zostanie\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x} }}\).

Czyli jeśli funkcję, którą mamy na początku podzielimy przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}}}\) to zostanie nam \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 x}{x^2}}\), a jako, że \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 x}{x^2}\to 1}\) to zbieżność wyjściowej całki jest równoważna zbieżności \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{x}}}\) bo \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin^2x}{\sqrt{x^5}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=1}\)
Jeszcze inaczej, naszą funkcję wyjściową można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot \mbox{(jakas inna funkcja)}}\), a jako, że pierwszy czynnik w otoczeniu 0 jest bliski 1, to zbieżność zależy od tego drugiego czynnika.

[darkmiki]

Rozumiem... Z tego wynika, że będzie to całka rozbieżna. Ale z kryterium asymptotyczno porównawczego wynika, że jeśli \(\displaystyle{ f(x)}\) podzielimy przez \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 x}{x^2}}\) to liczbą do której zmierza ta granica (przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\)) jest \(\displaystyle{ 0}\). A jeśli granica, która wyjdzie jest mniejsza od \(\displaystyle{ \infty}\), to jeśli całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{\sin^2 x}{x^2}}\) jest zbieżna, znaczy to, że całka z \(\displaystyle{ f(x)}\) też jest zbieżna. Dlatego pytałem, czy ona jest zbieżna. Jeśli tak, to znaczy, że całość także jest zbieżna. W tym toku myślenia czai się chyba błąd, bo wg Twojej metody całka z \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rozbieżna.

[Lorek]

Rozumiem... Z tego wynika, że będzie to całka rozbieżna.

O, nie widziałem, że całka \(\displaystyle{ \int_0^{iles\ tam}\frac{1}{\sqrt{x}}}\) jest rozbieżna.

Ale z kryterium asymptotyczno porównawczego wynika, że jeśli

A faktycznie jest takie coś, choć to raczej dotyczy całek postaci \(\displaystyle{ \int_a^\infty}\) i raczej zastosowania tu nie ma. A całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{\sin^2 x}{x^2}}\) nawet nie jest niewłaściwa jakby cię to interesowało (jedyny punkt osobliwy to 0, ale granica wyrażenia podcałkowego jest tam skończona).

[darkmiki]

Ha, dziękuję bardzo:) rzeczywiście stosowałem troszkę złe kryterium