Objętość fragmentu kuli

[skolukmar]

Mam do rozwiązania takie zadanie:

Przez środek kuli o promieniu 2a wywiercono walcowatą dziurę o promieniu a. Oblicz
objętość pozostałej bryły.

Tutaj będzie występowała całka podwójna czy potrójna ?

Środek kuli jest w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jesli ustalimy, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2+z^2 = a^2}\) to np możemy przemnożyć przez 2 wyznaczoną całkę - Niech \(\displaystyle{ a<z<2a}\) czyli ustalony jest \(\displaystyle{ z}\) dalej mamy koła o promieniu \(\displaystyle{ z}\) i się zacinam. Proszę o pomoc

[Chromosom]

Tutaj będzie występowała całka podwójna czy potrójna ?

możesz obliczyć objętość za pomocą całki podwójnej

Środek kuli jest w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jesli ustalimy, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2+z^2 = a^2}\) to np możemy przemnożyć przez 2 wyznaczoną całkę - Niech \(\displaystyle{ a<z<2a}\) czyli ustalony jest \(\displaystyle{ z}\) dalej mamy koła o promieniu \(\displaystyle{ z}\) i się zacinam. Proszę o pomoc

chcesz skorzystać z symetrii? dalszych wątpliwości nie rozumiem. Promień koła nie jest zmienny. Wykonaj najpierw rysunek i wyznacz obszar całkowania oraz funkcję podcałkową

[skolukmar]

Napisałbyś jakbyś to liczył ? (Z wzorem na całkę ? )

[Chromosom]

dokładnie tak jak napisałem:

Wykonaj najpierw rysunek i wyznacz obszar całkowania oraz funkcję podcałkową

zrób tak samo

[aniaaa1990]

Cześć .

Mam problem z podobnym zadaniem. Co rozumiesz przez policzenie objętości całką podwójną?

Mam sobie zrobić rzut na któreś osie?
Np. na oś XY będę miała grube hula-hop które mogę opisać: \(\displaystyle{ a < r < 2a , 0 < \varphi < 2 \pi}\).

Funkcja to po prostu kula wyrażona za pomocą \(\displaystyle{ z}\) a potem biegunowymi?
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2} \\
z= \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \\}\)
Po zamianie na biegunowe mam:
\(\displaystyle{ \sqrt{1-r^{2}} \\
\int_{0}^{2 \pi} \int_{a}^{2a} \sqrt{1-r^2}r dr d\varphi}\)

O takie coś chodzi, czy piszę bzdury?

[skolukmar]

Ja myślałem tak:
Mamy kule i policzymy objętość \(\displaystyle{ V}\) jako sumę objętości walca o promieniu \(\displaystyle{ a}\), wysokości \(\displaystyle{ 2\sqrt3a}\) i "czegoś" nad walcem.

Jak licze to coś nad walcem?
Rzutuje wrzystko na płaszczyzne \(\displaystyle{ XZ}\) (tzn. \(\displaystyle{ y=0}\). Wtedy oblętość "czegoś" to objętośc wykresu funkcji \(\displaystyle{ z = f(x) = \sqrt{4a^2-x^2}}\) wokół osi \(\displaystyle{ z}\).
Taką objętość liczymy jak objętość walca o promieniu \(\displaystyle{ x}\) i wysokości \(\displaystyle{ f(x)}\), czyli:
\(\displaystyle{ 2\pi \int_{0}^{a}x\sqrt{4a^2-x^2}dx}\)

Podsumowując: moja odp do zadania to:

\(\displaystyle{ V_{kuli} - V_{walca} - V_{czegos}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi {(2a)}^3 - \pi a^2 \cdot 2\sqrt3a - 2\pi \int_{0}^{a}x\sqrt{4a^2-x^2}dx}\)

Czy to jest dobrze ? Nie wiem.

[aniaaa1990]

Hmm, Twoje rozwiązanie też powinno być ok.
Wiesz co? Spróbuje przeliczyć swoim sposobem a potem oszacować poprawne rozwiązanie.
Jak to zrobię to podam wynik i możemy porównać sobie.

-- 11 wrz 2011, o 14:29 --

Okay,

Niech \(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\).
Objętość kuli równa się więc \(\displaystyle{ \frac{4 \pi}{3}r^{2} \approx 4,18}\)

Liczę całkę (wzięłam dwa razy bo tam funkcja \(\displaystyle{ z=\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}, z=-\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}\)):
\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{2 \pi} \int_{ \frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1-r^2}r dr d\varphi \approx 2,72\\}\).

Liczyłam przez podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{1-r^{2}}=t}\).

Tyle mogło by być .

[skolukmar]

U mnie wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi {(2a)}^3 - \pi a^2 \cdot 2\sqrt3a - 2\pi \int_{0}^{a}x\sqrt{4a^2-x^2}dx = \frac{16}{3} \pi a^3}\)

[aniaaa1990]

\(\displaystyle{ \frac{16}{3} \pi a^{3}=\frac{16}{3} \pi \left( \frac{1}{2} \right) ^{3}\approx 2,09}\)

W sumie też by pasowało...

Już sama nie wiem .

[Chromosom]

Zarówno pierwsza, jak i druga metoda jest poprawna. Wykorzystanie całki potrójnej wymaga jednak mniej obliczeń oraz uzasadnień.

[aniaaa1990]

Całkę podwójną liczyło mi się całkiem prosto i nie musiałam dzielić obszaru na części.

Co masz na myśli mówiąc, że wymaga uzasadnień?
Czy muszę napisać do tego jakiś komentarz na egzaminie czy wszystko ładnie już widać?
Czy muszę coś dodatkowo zakładać?

[Chromosom]

Całkę podwójną liczyło mi się całkiem prosto i nie musiałam dzielić obszaru na części. Co masz na myśli mówiąc, że wymaga uzasadnień?

Całka podwójna jest wynikiem obliczenia całki potrójnej zamienionej na całkę iterowaną. Zastosowanie wzoru na objętość bryły obrotowej jest w tym przypadku bardziej skomplikowane ponieważ wymaga większej ilości obliczeń. Niemniej jednak obie metody są poprawne.

Czy muszę napisać do tego jakiś komentarz na egzaminie czy wszystko ładnie już widać?
Czy muszę coś dodatkowo zakładać?

Wzór na objętość bryły obrotowej obowiązuje dla wszystkich funkcji spełniających odpowiednie założenia regularnościowe, czyli całkowalnych w sensie Riemanna. Jeśli wyprowadzenie mieliście podane podczas ćwiczeń, zapewne nie trzeba go uwzględniać na egzaminie.

[aniaaa1990]

Wzoru na bryłę obrotową?
Nie zastosowałam niczego takiego - po prostu zapisałam funkcję \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}}\) jako \(\displaystyle{ z=\sqrt{4a^{2}-x^{2}-y^{2}}, z=-\sqrt{4a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\) i następnie podstawiłam do wzoru na współrzędne biegunowe.
Bryła jest symetryczna, to wzięłam \(\displaystyle{ 2\sqrt{4a^{2}-(r \cos \varphi)^{2}-(r \sin \varphi)^{2}}}\) co dało mi funkcję \(\displaystyle{ 2\sqrt{4a^{2}-r^{2}}}\) po której całkowałam.

Czy to dobre rozumowanie?
(Przy okazji poprawiłam błąd)

Ogólnie kiedyś miałam o całkowaniu po "cieniu" bryły ale niestety nie pamiętam a nie mogę znaleźć tego w podręczniku, próbowałam coś w ten deseń.

[Chromosom]

Wzór na objętość bryły obrotowej został zastosowany w rozwiązaniu przedstawionym przez skolukmar. Twoje rozwiązanie jest poprawne, ale również najbardziej wydajne, co już wcześniej napisałem.

Nie spotkałem się z nazwą całkowanie po cieniu bryły. Być może mówisz o obliczaniu całki funkcji po rzucie bryły na płaszczyznę. Jest to standardowa procedura stosowana podczas obliczania objętości brył.

[aniaaa1990]

Dziękuję za informację .