Zbadaj zbieżność szeregu

[Barney77]

Witam wszystkich serdecznie. Mam problem ze zbadaniem czy poniższy szereg jest zbieżny czy też rozbieżny. Proszę o pomoc - z góry wielkie dzięki!

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{100^{n}}{(100n)!}}\)

[ares41]

Skorzystaj np. z kryterium d'Alemberta.

[Barney77]

Raczej nie o taką pomoc mi chodziło. Gdybym poradził sobie z zastosowaniem, któregoś z kryteriów to nie prosiłbym o pomoc na forum. Mam na myśli więcej konkretów - czy jest zbieżny czy też nie i jaki myk pozwala do tego dojść.

[ares41]

No więc jaki masz problem z zastosowaniem tego kryterium - tylko konkretnie. Definicję znasz? To pokaż do czego doszedłeś i gdzie pojawia się problem. Gotowca nie będzie, przynajmniej ode mnie.

[Barney77]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{100^{n}}{(100n)!}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} }= \frac{ 100^{n+1} \cdot (100n)! }{(100n+100)! \cdot 100^{n} }= \frac{100 \cdot (100n)!}{100n! \cdot (100n+1)(100n+2) \cdot ... \cdot (100n+100)}=
\frac{100}{(100n+1)(100n+2) \cdot ... \cdot (100n+100)}=0<1}\)

Doszedłem, więc tym samym do wniosku, że jest zbieżny. Tylko mam jakieś dziwne wrażenie, że coś tu jest źle. Dlatego pytałem o porady, w sumie mogłem dać od razu do sprawdzenia, ale myślałem, że ktoś szybką podpowiedzią naprowadzi mnie, czy dobrze rozpisałem te działania i wywnioskowałem rezultat. Podsumowując, co Ty/Wy na to?

[ares41]

Brakuje symbolu granicy - bez tego zapis nie ma sensu, powinno być:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{ 100^{n+1} \cdot (100n)! }{(100n+100)! \cdot 100^{n} }=...=0<1}\)
Co do wyniku - tak, jest zbieżny.

[Barney77]

Fakt - z rozpędu zapomniałem dodać. To nie wiem dlaczego byłem przekonany, że coś jest źle. W takim razie dzięki za pomoc. Niepotrzebnie się martwiłem tylko.