Szereg Fouriera

[genek2000]

Mam funkcję f(x)

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -(x+\pi), -\pi\leqslant x<\frac{-\pi}{2} \\ x, \frac{-\pi}{2}\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{2} \\ -(x-\pi), \frac{\pi}{2}<x\leqslant \pi \end{cases}}\)

Rozwiązanie wyszło mi zgodnie z odpowiedziami czyli:

\(\displaystyle{ \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n^{2}}\sin(nx)}\)

Jednak oprócz tego muszę pokazać, że zachodzi równość

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}}\)

Czy ktoś może mnie nakierować jak się za to zabrać? Próbowałem podstawiać kolejne wartości n do tego, ale nijak nie przybliża mnie to do prawej strony równości którą trzeba wykazać.
Dziękuję z góry!

[Adifek]

Podstaw za \(\displaystyle{ x}\) w szeregu taką wartość, aby \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\pi}{2}}\)

[genek2000]

ok, podstawiłem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i rzeczywiście jest to równoznaczne z prawą stroną tego równania, a im więcej wezmę pod uwagę składników tym bardziej zbliża mi się do wartości ~1.57 (czyli połowa pi).

Czy o to chodzi? ;p

[Adifek]

masz

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=f\left \left( \frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left( \frac{n\pi}{2} \right) }{n^{2}}\sin \left( n \cdot \frac{\pi}{2} \right) =...}\)

wystarczy doprowadzić szereg to takiej postaci jak chcemy