Określ wartość logiczną zdań...

[Olek619]

a) \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R} [(x>0) \Rightarrow (x>1)]}\)

b) \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{x\in R} [(\sqrt{x}=0) \wedge (x^{2}=0)]}\)

c) \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{x\in N} [(x^{2}+x-2=0) \wedge (x>0)]}\)

d) \(\displaystyle{ \sim (\bigwedge\limits_{x\in R}[|x+1|=|x|+1])}\)

e) \(\displaystyle{ \sim (\bigvee\limits_{x\in R}[|x|^{99}=|x^{6}|])}\)

W każdym przykładzie mam ustalić czy zdanie jest fałszywe, czy prawdziwe (i chyba podać ile równe jest x). Nie kminię tego w ogóle, a tematy w szkole ciągle do przodu idą... Z jakich praw logicznych mam tutaj korzystać? Proszę o jakieś rozwiązania i wytłumaczenie...

[Jan Kraszewski]

Nie masz korzystać z praw, tylko przeczytać ze zrozumieniem.

Np. w a) masz pytanie, czy prawdą jest, że każda liczba rzeczywista większa od zera jest większa od jeden, a w b) masz pytanie, czy istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje zero i równocześnie pierwiastek z niej jest zero.

No i jakie są odpowiedzi?

JK

[Olek619]

No a w pozostałych przykładach? Pierwsze dwa są rzeczywiście logiczne...

Odpowiedzi mam podane takie:

a) zdanie fałszywe (x=1/2)
b) zdanie prawdziwe (=0)
c) zdanie prawdziwe (x=1)
d) zdanie prawdziwe (x=-1)
e) zdanie fałszywe (x=0).

No ale jak do tego matematycznie dojść, że x ma być równy tyle...

[Jan Kraszewski]

No a w pozostałych przykładach?

Tak samo - czytać ze zrozumieniem.

No ale jak do tego matematycznie dojść, że x ma być równy tyle...

Myśląc. Pamiętaj, że konkretny \(\displaystyle{ x}\) znajdujesz tylko w sytuacji uzasadniania prawdziwości zdania egzystencjalnego (z kwantyfikatorem "istnieje") bądź fałszywości zdania ogólnego (z kwantyfikatorem "dla każdego"). Tak się składa, że akurat w tym zadaniu masz tylko takie przykłady.

I tak podpunkcie a) zastanawiasz się, czy każda liczba rzeczywista dodatnia jest większa od \(\displaystyle{ 1}\) i dochodzisz do wniosku, że nie, bo znasz liczby dodatnie mniejsze bądź równe \(\displaystyle{ 1}\). Zatem jako przykład, świadczący o fałszywości zdania a) (nazywamy go "kontrprzykładem") możesz podać dowolne \(\displaystyle{ x\in(0,1\rangle}\), np. \(\displaystyle{ x=\frac12}\) (ale może też być \(\displaystyle{ x=\frac13}\) lub \(\displaystyle{ x=1}\)).

JK