Wartość oczekiwana i mediana

[ociowaty]

Witam,
mam funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2x^{2}} |x|>1\\ 0 |x| \le 1\end{cases}}\)
Mam z obliczyć wartość oczekiwaną i medianę.

Oczywiście zaczynam od pozbycia się wartości bezwzględnej, co daje:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2x^{2}} x \in (-1;- \infty ) \cup (1; \infty ) \\ 0 x \in <-1;1>\end{cases}}\)

Licze wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{ \infty } x \cdot f(x) \mbox{d}x =
\int_{-1}^{- \infty } x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x +\int_{\infty}^{1} x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x}\)

Z całego tego rachunku wychodzi mi, że \(\displaystyle{ EX = -\frac{1}{2}}\)
Z tego co wiem \(\displaystyle{ EX > 0}\) czy komuś wyszło inaczej ?

Co do samej mediany wiem, że liczy się ją tak:
\(\displaystyle{ \int_{ - \infty }^{ x_{0,5}} f(x) \mbox{d}x = 0,5}\), tylko nie wiem do końca jak to liczyć.
czy liczyć to na zasadzie dystrybuanty, czy jakoś inaczej ?

Z góry dziękuję za pomoc. Pozdrawiam.

[yorgin]

Wartość oczekiwana oczywiście może być ujemna. Zauważ, że jeżeli zmienna losowa dyskretna przyjmuje wartości tylko ujemne, to jej wartość oczekiwana musi być ujemna.

Ale rachunki wydają mi się być niepoprawne. Rozkłady symetryczne względem zera mają wartości oczekiwane równe 0.

Medianę możesz policzyć oczywiście tak, jak napisałeś.

Rozkłady symetryczne również mają łatwą do policzenia medianę.

[ociowaty]

Rachunki mają się tak:
\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{ \infty } x \cdot f(x) \mbox{d}x =
\int_{-1}^{- \infty } x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x +\int_{\infty}^{1} x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x=\int_{-1}^{- \infty } \frac{1}{2x} \mbox{d}x +\int_{\infty}^{1} \frac{1}{2x} \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \lim_{a \to -\infty} \int_{-1}^{a} \frac{1}{2x} \mbox{d}x+\lim_{b \to \infty} \int_{b}^{1} \frac{1}{2x} \mbox{d}x = \lim_{ a\to -\infty} \frac{ln|x|}{2}[a;-1]+\lim_{ b\to \infty} \frac{ln|x|}{2}[1;b]}\)
i nagle cuda powychodziły... nie wiem jak dalej ruszyć, bo wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\).
Co do samej mediany, rozumiem, że to tak działa, że dla każdego przedziału licze osobną medianę ? [\(\displaystyle{ (- infty ;-1), (-1;1), (1; infty )}\)]

[yorgin]

Medianę liczysz dla całego rozkładu, nie dla jego poszczególnych kawałków.

A co do słuszności mojego stwierdzenia o zerowej wartości oczekiwanej:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx= \int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+ \int_{0}^{+\infty}xf(x)dx=}\)

Zamiana zmiennych w drugiej całce:

\(\displaystyle{ y=-x, dx=-dy, x\in [0,+\infty], y\in [0,-\infty]}\)

\(\displaystyle{ = \int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+ \int_{0}^{-\infty}(-y)f(-y)(-dy)=\\
=\int_{-\infty}^{0}xf(x)dx- \int_{-\infty}^{0}yf(y)dy=0}\)

Patrząc na twoje rachunki, owszem dostajesz całki niewłaściwe. Zauważ jednak, że

\(\displaystyle{ \lim_{a \to -a_0} \ln |a|= \lim_{b \to a_0}\ln |b|}\)
czyli
\(\displaystyle{ \lim_{a \to -\infty} \ln |a|= \lim_{b \to +\infty}\ln|b|}\)
Obie granice są identyczne, i występują w Twoich rachunkach z przeciwnym znakiem. Zatem ich różnica wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Proponuję to zapisać jako jedną granicę różnicy logarytmów.

Mam nadzieję że nie pokręciłem, średnio dobrze mi się myśli.

[ociowaty]

Dzięki, tę część już rozumiem. Niestety dalej nie wiem jak zrobić medianę.

Możesz rozpisać wzór \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ x_{0,5} } f(x) \mbox{d}x}\) ?
wiem, że trzeba rozbić to na sumę 3 całek z każdego przedziału, ale nie wiem jak powinny wyglądać granice całkowania...

[yorgin]

Może nie będę rozpisywać, ale podpowiem tak:

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1} f(x)dx= \int_{1}^{\infty}f(x)dx=\frac{1}{2}}\)

Dodatkowo:

\(\displaystyle{ \forall \ -1\leq c<d\leq 1\qquad \int_{c}^{d}f(x)dx=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ \forall t\in [-1,1]\ \ \int_{-\infty}^{t}f(x)dx=\frac{1}{2}}\)

[ociowaty]

Czyli mam rozumieć, że wybieram te funkcje, które zawierają się w przedziale \(\displaystyle{ [-1; 1]}\) ?

Tak btw już poza tematem.
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to - \infty } \cos x}\)
Liczyłem medianę w innym przykładzie i doszedłem do takiego punktu jak powyżej. Jest takie cos w ogóle możliwe ?

Moja zdolność rozwiązywania całek leży...

Dziękuję za pomoc !