Definicja pochodnej - pewna subtelność

[abc666]

Ale powiedz mi w którym miejscu te definicje są różne? Czy

\(\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{h \to 2} \frac{f(x_0+h-2)-f(x_0)}{h-2}}\)

jest czymś innym od tej pierwszej definicji?

[chlorofil]

Jest tym samym. Chodziło mi o formalne pokazanie tego. I to moim zdaniem uczynił Dasio11. Pokazał formalnie, że obie granice są tym samym. Formalnie to moim zdaniem trzeba tak zrobić: albo pokazać, że w sensie def. Heinego obie granice są równe, albo w języku delta-epsilon. Bo mówisz mi (i ja to wiem), że te definicje są takie same, ale nie pokazujesz formalnie czemu.

[Dasio11]

To spróbuj to zrobić dla funkcji nieróżniczkowalnej

Dowód działa dla każdej funkcji rzeczywistej. Oto przykład:

Weźmy np. \(\displaystyle{ g(x)=|x-7|, \quad x_0=7.}\) (nieróżniczkowalna jak byk)

Dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) nie jest prawdą, że

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 7} \frac{|x-7|}{x-7} = \alpha}\)

Również dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) fałszem jest, że

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{|7+h-7|}{h} = \alpha.}\)

Równoważność

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 7} \frac{|x-7|}{x-7} = \alpha \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{|7+h-7|}{h} = \alpha}\)

jest zatem prawdziwa.

A umiesz czytać? W dowodzie w dowodzeniu w jedną stronę piszesz, że zachodzi równość równoważna równości. A, rzecz jasna, w tym momencie dowodu mamy tylko jednostronne wynikanie.

No i co? To błąd, że stwierdzam \(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q}\) a korzystam jedynie z \(\displaystyle{ p \Rightarrow q?}\)

[abc666]

Dla mnie bycie tym samym, a bycie równoważnym to dwie różne rzeczy. Wg mnie tutaj mamy dwie granice, które są tym samym.

[Jan Kraszewski]

Dowód działa dla każdej funkcji rzeczywistej. Oto przykład

Abstrahując od meritum, bardzo mi się podoba ten argument...

JK

[chlorofil]

Dla mnie bycie tym samym, a bycie równoważnym to dwie różne rzeczy. Wg mnie tutaj mamy dwie granice, które są tym samym.

Zgadzam się. Ale pytam teraz Ciebie - w jaki sposób to uzasadnisz, że są tym samym?
Przykładowo, taka definicja pochodnej jest ok:

\(\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}}\)

ale taka nie jest "tym samym" i jest zła:

\(\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}}\)

prawda?

[abc666]

Zastosowano podstawienie. Przecież tam nie ma nic innego. Masz zapisane to samo tylko przy pomocy innych symboli.

Jeśli mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} f(x)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1+a} f(x-a)}\)
to jest to to samo. Po prostu pierwszy zapis jest krótszy. Argument funkcji dąży do \(\displaystyle{ 1}\), nieważne jaki tam szlaczek wstawię.

[Dasio11]

Abstrahując od meritum, bardzo mi się podoba ten argument...

To nie jest argument, tylko przykład.

[Jan Kraszewski]

Wiem, wiem...

JK