Zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \rho}\) będzie reprezentacją grupy cyklicznej rzędu 6 wyznaczoną przez odwzorowanie \(\displaystyle{ 1 \longmapsto \left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right]}\).
Dodatkowe punkty do zadania:
1. Stosując teorię charakterów sprawdź, czy \(\displaystyle{ \rho}\) jest rozkładalna. Jeśli jest, to rozłóż ją na sumę prostą podreprezentacji nierozkładalnych.
2. Znaleźć macierze reprezentacji w nowej bazie, będącej sumą baz znalezionych podprzestrzeni niezmienniczych.
3. Czy dwuwymiarowa reprezentacja grupy cyklicznej może być nierozkładalna?
4. Ile nierozkładalnych reprezentacji ma skończona grupa cykliczna?
Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.
Zacznijmy od 1. Ta reprezentacja jest dwuwymiarowa, więc podreprezentacje mogą być tylko jednowymiarowe. Potrafisz ich poszukać?
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 2 razy
Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.
Właściwie to kompletnie nie wiem jak zabrać się za to zadanie. Czy można oznaczyć tą macierz jako B i wtedy znajduje się taką macierz A, żeby zachodziła równość: \(\displaystyle{ A^{-1}BA}\) ? Kompletnie nie mam pojęcia.
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.
Nie napisałaś o jaką równość Ci chodzi. Ja proponuję skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \rho}\) zadaje strukturę \(\displaystyle{ G-\text{modułu na } \mathbb{C}^2}\) (założyłem, że rozważasz reprezentacje nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)). Podreprezentacja właściwa jest jednowymiarowa. Musisz więc sprawdzić czy znajdziesz taki wektor, że \(\displaystyle{ \rho(1)(v) \in span(v)}\).