Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

[roobson93]

Cześć, nie mogę sobie poradzić z paroma zadaniami z równań wykładniczych i jednym z nierówności.
Polecenie to - oblicz \(\displaystyle{ x}\) (lub \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\))
Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ 1. \ \left( 3-2 \sqrt{2} \right) ^{x} + \left( 3+2 \sqrt{2} \right) ^{x} = 6 ^{x} \\
2. \ \left( \sqrt{4 + \sqrt{15} } \right) ^{x} + \left( \sqrt{4 - \sqrt{15} } \right) ^{x} = \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{x} \\
3. \ \left( \frac{1}{36} \right) ^{x - 4} + 36 > 37 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) ^{x - y}}\)
Nie wiem nawet zbyt jak się do nich zabrać. Potrzebne mi jest rozwiązanie bez użycia logarytmów.

[fon_nojman]

Na oko widać.

1) \(\displaystyle{ x=1}\)

2) \(\displaystyle{ x=2.}\)

[roobson93]

Niestety ale ja tego nie widze ;/

[tatteredspire]

Widać, że te liczby spełniają równanie, ale jeszcze trzeba wykazać, że jakakolwiek inna liczba nie spełnia, a w tym tkwi największy problem.

[zidan3]

\(\displaystyle{ \left( 3-2 \sqrt{2}\right) \left( 3+2 \sqrt{2}\right) =1 \\ 3-2 \sqrt{2}= \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ \left( 3-2 \sqrt{2}\right) ^x+\left( 3+2 \sqrt{2}\right) ^x=6^x \\ t=\left( 3+2 \sqrt{2}\right)^x \\ t+ \frac{1}{t} =6^x}\)
chyba cos w tym stylu, teraz nie mam głowy do tego.
Mam nadzieje, ze cos podpowiedzialem
Jakby było \(\displaystyle{ 6}\) zamiast \(\displaystyle{ 6^x}\) to wystarczy rozwiazac równanie kwadratowe.

[fon_nojman]

Sprytne zidan3, dokańczając

\(\displaystyle{ 6=t+\frac{1}{t}}\)

\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=\left(t+\frac{1}{t}\right)^x}\)

\(\displaystyle{ \left(t+\frac{1}{t}\right)^{x-1}=1.}\)

[zidan3]

Własnie o taka koncowke mi chodzilo, ale jakos tempy jestem o tej porze.
Owszem, dostyc sprytny trick. Z przyjemnoscia takie zapamietuje

[fon_nojman]

2) Robimy tak jak pierwsze, wygodnie jest podstawić \(\displaystyle{ x=2t.}\)

3) Przekształcam

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}\left(\frac{1}{6}\right)^8+36>37\left(\frac{1}{6}\right)^x\left(\frac{1}{6}\right)^{-y} //\cdot6^x}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{6}\right)^8\left(\frac{1}{6}\right)^x+36\left(\frac{1}{6}\right)^x>37\left(\frac{1}{6}\right)^{-y}}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{6}\right)^x\left(\left(\frac{1}{6}\right)^8+36\right)>37\left(\frac{1}{6}\right)^{-y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left(\frac{1}{6}\right)^8+36}{37}>6^{x+y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+6^{10}}{37\cdot6^8}>6^{x+y}}\)

i nie wiem jak dalej. Nie ma błędu w przykładzie?

[pawelsuz]

Sprytne zidan3, dokańczając

\(\displaystyle{ 6=t+\frac{1}{t}}\)
...

skąd to?

[tatteredspire]

Ja prawdę mówiąc też tego przejścia nie rozumiem. Dlaczego waszym zdaniem \(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=6}\) nie wpływa na liczbę rozwiązań równania wyjściowego?

[fon_nojman]

Jest błąd ale idea dobra

\(\displaystyle{ t=\left(3+2\sqrt2\right), \frac{1}{t}=\left(3-2\sqrt2\right), t+\frac{1}{t}=6}\)

\(\displaystyle{ t^x+\frac{1}{t^x}=(t+\frac{1}{t})^x\ //\cdot t^x}\)

\(\displaystyle{ t^{2x}+1=(t^2+1)^x}\)

\(\displaystyle{ (t^2+1)^x-t^{2x}=1.}\)

Widać jak na dłoni, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=1.}\) Czy jest więcej rozwiązań? Nie ma, rozważmy dwa przypadki

1) \(\displaystyle{ x<0}\) wtedy

\(\displaystyle{ (t^2+1)^x-t^{2x}<1-t^{2x}<1.}\)

2) Pokażemy, że dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) funkcja \(\displaystyle{ (t^2+1)^x-t^{2x}}\) jest (silnie) rosnąca.

\(\displaystyle{ (t^2+1)^{x+\varepsilon}-(t^2)^{x+\varepsilon}=(t^2+1)^x(t^2+1)^{\varepsilon}-(t^2)^x(t^2)^{\varepsilon}>(t^2)^{\varepsilon}((t^2+1)^x-(t^2)^x) \ge (t^2+1)^x-(t^2)^x, \varepsilon>0.}\)