Funkcja \(\displaystyle{ f:R^2 \rightarrow R^2}\) ma dokladnie dwa lokalne ekstrema: lokalne maksimum w \(\displaystyle{ (1,0)}\) (z wartością 2) i lokalne minimum w \(\displaystyle{ (-1,0)}\) (z wartością -2).
Czy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } f(x,0)}\) może być równa 4 lub 2 ?
Czy może chodzić o to, ze funkcja nie musi być ciągła ? Wtedy byłoby to możliwe.
Np dla \(\displaystyle{ x=10}\) , dla \(\displaystyle{ \lim_{ x\to + 10} = + \infty}\) i potem dla \(\displaystyle{ x > 10}\) granica może być 4 i 2 ?
granica f dwóch zmiennych
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
granica f dwóch zmiennych
Tu chyba coś jest nie tak...skolukmar pisze: Np dla \(\displaystyle{ x=10}\) , dla \(\displaystyle{ \lim_{ x\to + 10} = + \infty}\) i potem dla \(\displaystyle{ x > 10}\) granica może być 4 i 2 ?
Jak nie ma założenia o ciągłości, to taki przykład łatwo znaleźć nawet dla \(\displaystyle{ f: \ \mathbb{R}\to \mathbb{R}}\), a później rozszerzyć ją na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2}\). Natomiast znalezienie takiej funkcji ciągłej jest już ciekawszym zadaniem.
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
granica f dwóch zmiennych
Najlepiej spróbować sobie wyobrazić wykres takiej funkcji, np. bierzemy płaszczyznę, taką na której nie ma ekstremów i dokładamy paraboloidę o wierzchołku w ekstremum. Przy czym płaszczyznę dobieramy tak, żeby przecięła paraboloidę. Wtedy tym przecięciem otrzymujemy elipsę, na której określamy paraboloidę (na pozostałym zbiorze - płaszczyznę). Wyjdzie coś takiego mniej więcej: Obrazek wygasł
I podobnie postępujemy z innymi ekstremami. Mi np. wyszło coś takiego: \(\displaystyle{ f(x,y)=}\)
\(\displaystyle{ y}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in (-\infty,4)\times \mathbb{R}}\) bez dwóch elips, na których będą określone paraboloidy.
\(\displaystyle{ -4 (x - 1)^2 - 4 y^2 + 2}\) - paraboloida związana z ekstremum w \(\displaystyle{ (1,0)}\)
\(\displaystyle{ 4 (x +1)^2+ 4 y^2 - 2}\) - paraboloida związana z ekstremum w \(\displaystyle{ (-1,0)}\)
\(\displaystyle{ y+x-4}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in [4,8)\times \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ y+4}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in [8,+\infty)\times \mathbb{R}}\)
te dwie ostatnie płaszczyzny są tak dobrane, aby zachodził warunek z granicą (no i ciągłość).
I podobnie postępujemy z innymi ekstremami. Mi np. wyszło coś takiego: \(\displaystyle{ f(x,y)=}\)
\(\displaystyle{ y}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in (-\infty,4)\times \mathbb{R}}\) bez dwóch elips, na których będą określone paraboloidy.
\(\displaystyle{ -4 (x - 1)^2 - 4 y^2 + 2}\) - paraboloida związana z ekstremum w \(\displaystyle{ (1,0)}\)
\(\displaystyle{ 4 (x +1)^2+ 4 y^2 - 2}\) - paraboloida związana z ekstremum w \(\displaystyle{ (-1,0)}\)
\(\displaystyle{ y+x-4}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in [4,8)\times \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ y+4}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in [8,+\infty)\times \mathbb{R}}\)
te dwie ostatnie płaszczyzny są tak dobrane, aby zachodził warunek z granicą (no i ciągłość).