Udowodnić prawo rachunku funkcyjnego

[wolkow]

\(\displaystyle{ \sim(\bigvee \limits_{x\in X}(\varphi (x)) \Leftrightarrow \bigwedge \limits_{x\in X} \sim\varphi (x).}\)

Co oznacza tutaj znak \(\displaystyle{ \sim}\) ? Na Wikipedii podane jest kilka różnych jego znaczeń. I w jaki sposób należy to udowodnić? Proszę o pomoc.

[frej]

To jest negacja.

[wolkow]

Czyli należy czytać to w ten sposób: "Żaden element zbioru nie należy do dziedziny funkcji wtedy, kiedy wszystkie elementy zbioru nie należą do dziedziny funkcji"? Dobrze to odczytuje? Jak dla mnie wychodzi masło maślane. No i w jaki sposób trzeba to udowodnić matematycznie?

[filolaos]

Po prostu na podstawie prawa De Morgana dla kwantyfikatorów:
\(\displaystyle{ \exists x \ f(x) \iff \sim \forall x \sim \ f(x)}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ \sim \exists x \ f(x) \iff \forall x\sim \ f(x)}\).

[Jan Kraszewski]

Po prostu na podstawie prawa De Morgana dla kwantyfikatorów:
\(\displaystyle{ \exists x \ f(x) \iff \sim \forall x \sim \ f(x)}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ \sim \exists x \ f(x) \iff \forall x\sim \ f(x)}\).

Ale to, o co pyta wolkow to JEST prawo de Morgana, więc powyższe trudno nazwać rozwiązaniem.

JK

[filolaos]

Czyli chodzi mu o dowód prawa De Morgana? To można np. na podstawie aksjomatyki, którą stanowi zbiór wszystkich tautologii KRZ i twierdzeń powstających przez konsekwentne podstawienia dowolnych wyrażeń KRP za zmienne zdaniowe oraz zbiór określonych reguł dowodzenia w KRP.
Tylko, że wyjaśnienie tego poście chyba nie jest takie proste.
Poza tym, czy to również JEST rozwiązanie? W końcu jak pisał Wittgenstein: każda teza logiki jest swoim własnym dowodem:-)

[Jan Kraszewski]

Nie sądzę, by wolkowowi chodziło o taki dowód. Niestety, nie napisał dokładnie, o co mu chodzi i dlatego ciężko będzie mu pomóc.

Można uzasadniać semantycznie, przyjmując, że zmienna \(\displaystyle{ x}\) przyjmuje wartości z ustalonego zbioru \(\displaystyle{ X}\) i to jest wg mnie dość przyzwoite uzasadnienie, bo oddaje intuicję tego prawa.

JK