Zbieżność szeregu potęgowego

[Kameleon7]

Witam,

Muszę wyznaczyć promień zbieżności szeregu i przedział.

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ (n!)^{2} }{(n+2)!} \cdot x ^{n}}\)

\(\displaystyle{ p= \lim_{n \to \infty } \frac{\left[(n+1)! \right] ^{2}}{ (n+3)! } \cdot \frac{ (n+2)! }{(n!)^{2}} = \frac{n!(n+1)n!(n+1)}{n!(n+1)(n+2)(n+3)} \cdot \frac{(n+1)(n+2)n! }{n! \cdot n!} = \frac{(n+1)(n+1)}{(n+3)} = \frac{n^{2}+2n+1}{n+3} = \frac{n^{2}(1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^{2}}) }{n^{2}( \frac{1}{n}+ \frac{3}{n^{2}}) } = \frac{1}{0} = \infty}\)

\(\displaystyle{ r = 0}\)

Dobrze to zrobiłem? Jak promień jest 0 to nie ma przedziału zbieżności?

[Lorek]

Pomijając to:

\(\displaystyle{ = \frac{1}{0} =}\)

to jest ok, a jak \(\displaystyle{ r=0}\), to szereg jest zbieżny tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\) (czy tam czego innego=0, jakby co innego tam było).

[Kameleon7]

A co jest nie tak w tym \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\) ?

[Lorek]

To, że czegoś takiego w zasadzie nie ma, to jest co najwyżej "skrót myślowy" Jak już to trzeba by to zapisać tak:
\(\displaystyle{ =\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty}\)
przy czym najważniejsze to tu jest to \(\displaystyle{ 0^+}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\) to zarówno może być \(\displaystyle{ \pm\infty}\) jak i nic. A najlepiej to trzeba było podzielić przez \(\displaystyle{ n}\) a nie \(\displaystyle{ n^2}\).

[Kameleon7]

Dzięki