Znaleźć charakterystykę ciał.

[Ola964]

Dane jest ciało \(\displaystyle{ K = \mathbb{Z}_{5} / (x^{2} + 2)}\). Wskazać ciało \(\displaystyle{ F}\) takie, że \(\displaystyle{ F \subset K}\) oraz \(\displaystyle{ \left| F \right|}\) ostro większe od \(\displaystyle{ 1}\). Znaleźć charakterystykę ciał \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ K}\) oraz stopień rozszerzenia \(\displaystyle{ [K:F]}\).

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ F = \mathbb{Z}_{5}}\)

\(\displaystyle{ chF = chK = 5}\)

\(\displaystyle{ [K:F] = 5}\)

Czy jest ono dobre?

[Piotr Pstragowski]

Niedobrze. Twoje \(\displaystyle{ F}\) po pierwsze nie jest ciałem, bo element \(\displaystyle{ x}\) nie jest w tym pierścieniu odwracalny, po drugie nie jest podpierścieniem \(\displaystyle{ K}\). (Nakrywa ten pierścień.)

Zastanów się, ile elementów ma \(\displaystyle{ K}\) i jakiej mocy jest ciało generowane w \(\displaystyle{ K}\) przez jedynkę.

Zwracam też Twoją uwagę, że założenie \(\displaystyle{ |F| > 1}\) jest niepotrzebne, bo ciało z definicji ma elementy 0 i 1 i są one różne.

[Ola964]

Poprawiłam swój poprzedni post. Czy teraz jest dobrze? \(\displaystyle{ F = \mathbb{Z}_{5}}\)

[Piotr Pstragowski]

\(\displaystyle{ F}\) wybrałaś dobrze, ale zastanów się, ile elementów ma \(\displaystyle{ K}\), a ile \(\displaystyle{ F}\). Czy na pewno dobrze policzyłaś stopień rozszerzenia?

(Zwracam Twoją uwagę, że jeśli \(\displaystyle{ |k| = p}\), to \(\displaystyle{ k^n = p^n}\)).

[Ola964]

\(\displaystyle{ [K:F] = 2}\) a \(\displaystyle{ chF = 5}\) to raczej na pewno.
\(\displaystyle{ chK = 7}\) tego nie jestem pewna.

[Piotr Pstragowski]

Stopień teraz dobrze. Ale charakterystyka była dobrze na początku.

Aby upewnić się, że rozumiesz, spróbuj pokazać, że jeśli jedno ciało zawiera się w drugim, to mają tę samą charakterystykę.

[Ola964]

Ok, czyli rozumiem, że \(\displaystyle{ chK = chF = 5}\) jest poprawną odpowiedzią?

[Piotr Pstragowski]

Tak.