Pierścienie ideałow głównych, pierścienie całkowite.

[Ola964]

Które z pierścieni: \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}}\) , \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{6}}\) , \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5} [x] / (x^{2} + 2)}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R} [x]}\) są pierścieniami całkowitymi a które pierścieniami ideałów głównych?

[szw1710]

Pierwsze dwa pierścienie nie są całkowite. Pierwszy - sprawdziłem to wcześniej - w Twoim innym temacie. Drugi: \(\displaystyle{ 2\cdot 3=0.}\)

Ideał główny generowany jest przez jeden element. W szczególności ideał jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia. Sprawdź podgrupy tych grup, zobacz które są ideałami i sprawdź generatory.

Co do pierścienia ilorazowego - nie znam się na nich za dobrze, zresztą jak i na całej algebrze, bo ostatnią poważniejszą z nią styczność miałem na studiach. To co pamiętam, w tym pomagam.

[Piotr Pstragowski]

Pierścienie skończone robisz na palcach, pierścień wielomianów rzeczywistych: korzystasz z twierdzenia \(\displaystyle{ k}\) - ciało, to \(\displaystyle{ k[x]}\) jest dziedziną ideałów głównych.

Jeśli chodzi o pierścień wielomianów nad ciałem pięcioelementowym, to interesuje Cię, czy ten ideał jest pierwszy \(\displaystyle{ \iff}\) wielomian generujący go jest nierozkładalny \(\displaystyle{ \iff}\) wielomian generujący go nie ma pierwiastków. Zwracam Twoją uwagę, że w przypadku gdyby ideał był pierwszy, to skoro wiemy, że ten pierścień jest dziedziną ideałów głównych, to ideał jest też maksymalny. Wtedy iloraz będzie ciałem.