Twierdzenie Lagrange'a o ortgonalizacji

[Arst]

Witam serdecznie,
uczę się do egzaminu poprawkowego i napotkałem twierdzenie, którego dowód jest dla mnie w większości niezrozumiały. Bardzo bym prosił by ktoś mi wytłumaczył niektóre etapy dowodu

Tw. Jeśli g jest formą dwuliniową hermitowską na przestrzeni wektorowej V nad K i \(\displaystyle{ v_1,...,v_m \in V}\), to istnieje g-ortogonalny układ \(\displaystyle{ (u_1,...,u_m)}\) taki, że:
1. \(\displaystyle{ \mathcal{L}(u_1,...,u_m)=\mathcal{L}(v_1,...,v_m)}\)
2. \(\displaystyle{ \Gamma _g (u_1,...,u_m)=\Gamma _g (v_1,...,v_m)}\)

Dowód:
Zastosujemy indukcję względem m. Dla \(\displaystyle{ m=1}\) teza twierdzenia jest prawdziwa, bowiem każdy jednowyrazowy układ wektorów jest g-ortogonalny.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ m-1}\)-wyrazowego układu wektorów (\(\displaystyle{ m>1}\)) i niech dane będą wektory \(\displaystyle{ v_1,...,v_m}\). Możliwe są dwa przypadki (dlaczego ):
(a) Istnieje \(\displaystyle{ i}\), t.że \(\displaystyle{ g(v_i,v_i) \neq 0}\). Możemy założyć, że i=1, bowiem w przeciwnym wypadku możemy zmienić kolejność wektorów.
Niech \(\displaystyle{ u_1=v_1}\) oraz \(\displaystyle{ v_k'=v_k-\frac{g(v_k,u_1)}{g(u_1,u_1)}\cdot u_1, \ \ k=2,...,m}\)

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ g(v_k',u_1)=0}\) dla \(\displaystyle{ k=2,...,m}\) (to akurat z definicji formy rzeczywiście łatwo zauważyć). Na mocy założenia indukcyjnego, istnieje g-ortogonalny układ \(\displaystyle{ (u_2,...,u_m)}\), t.że \(\displaystyle{ \mathcal{L}(u_2,...,u_m)=\mathcal{L}(v_2',...,v_m')}\) oraz \(\displaystyle{ \Gamma _g (u_2,...,u_m)=\Gamma _g(v_2',...,v_m')}\) (nie rozumiem w jaki sposób skorzystano tutaj z założenia indukcyjnego...). Stąd wynika, że także układ \(\displaystyle{ (u_1,u_2,...,u_m)}\) jest g-ortogonalny i spełnia warunki 1. i 2. (...i skąd taki wniosek).

(b) \(\displaystyle{ g(v_i,v_i)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ i}\). Jeśli dany układ nie jest g-ortogonalny, to istnieją \(\displaystyle{ i,j}\), t.że \(\displaystyle{ g(v_i,v_j) \neq 0}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \Re(g(v_i,v_j)) \neq 0}\) (nie rozumiem dlaczego rozpatrujemy część rzeczywistą, później urojoną), to definiujemy \(\displaystyle{ w_i=v_i+v_j}\) oraz \(\displaystyle{ w_k=v_k}\) dla \(\displaystyle{ k \neq i}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ g(w_i,w_i)=2\Re(g(v_i,v_j)) \neq 0}\) (nie mam pojęcia skąd się wzięła ta równość )

Jeśli \(\displaystyle{ \Re(g(v_i,v_j))=0}\), to definiujemy \(\displaystyle{ w_i=v_i+iv_j}\) (tu przypuszczam, że \(\displaystyle{ i}\) oznacza jednostkę urojoną a nie indeks) oraz \(\displaystyle{ w_k=v_k}\) dla \(\displaystyle{ k \neq i}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ g(w_i,w_i)=2\Im(g(v_i,v_j)) \neq 0}\) (też nie potrafię dojść skąd się to wzięło). W obu przypadkach dostajemy układ \(\displaystyle{ (w_1,...,w_m)}\), t.że \(\displaystyle{ \mathcal{L}(w_1,...,w_m)=\mathcal{L}(v_1,...,v_m)}\) i \(\displaystyle{ \Gamma _g(w_1,...,w_m)= \Gamma _g(v_1,...,v_m)}\), do którego można zastosować (a) (to też nie bardzo rozumiem).\(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Przyjęte oznaczenia: \(\displaystyle{ \mathcal{L}(u_1,...,u_m)}\) - podprzestrzeń przestrzeni V generowana przez układ \(\displaystyle{ (u_1,...,u_m)}\)
\(\displaystyle{ \Gamma _g(u_1,...,u_m)}\) - wyznacznik macierzy Grama formy g układu \(\displaystyle{ (u_1,...,u_m)}\)

Byłbym wielce wdzięczny, bo sam już sobie nie radzę z tym twierdzeniem.

Pozdrawiam,
A.

[yorgin]

Witam serdecznie,
uczę się do egzaminu poprawkowego i napotkałem twierdzenie, którego dowód jest dla mnie w większości niezrozumiały. Bardzo bym prosił by ktoś mi wytłumaczył niektóre etapy dowodu

Tw. Jeśli g jest formą dwuliniową hermitowską na przestrzeni wektorowej V nad K i \(\displaystyle{ v_1,...,v_m \in V}\), to istnieje g-ortogonalny układ \(\displaystyle{ (u_1,...,u_m)}\) taki, że:
1. \(\displaystyle{ \mathcal{L}(u_1,...,u_m)=\mathcal{L}(v_1,...,v_m)}\)
2. \(\displaystyle{ \Gamma _g (u_1,...,u_m)=\Gamma _g (v_1,...,v_m)}\)

Dowód:
Zastosujemy indukcję względem m. Dla \(\displaystyle{ m=1}\) teza twierdzenia jest prawdziwa, bowiem każdy jednowyrazowy układ wektorów jest g-ortogonalny.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ m-1}\)-wyrazowego układu wektorów (\(\displaystyle{ m>1}\)) i niech dane będą wektory \(\displaystyle{ v_1,...,v_m}\). Możliwe są dwa przypadki (dlaczego ):

\(\displaystyle{ \star}\)Forma dwuliniowa albo zachowuje się jak iloczyn skalarny, albo nie. Wobec tego albo zeruje się na całej "przekątnej", czyli \(\displaystyle{ \forall\ x g(x,x)=0}\), albo tak nie jest dla jakiegoś \(\displaystyle{ x}\). Stąd przypadki (a) i (b).

(a) Istnieje \(\displaystyle{ i}\), t.że \(\displaystyle{ g(v_i,v_i) \neq 0}\). Możemy założyć, że i=1, bowiem w przeciwnym wypadku możemy zmienić kolejność wektorów.
Niech \(\displaystyle{ u_1=v_1}\) oraz \(\displaystyle{ v_k'=v_k-\frac{g(v_k,u_1)}{g(u_1,u_1)}\cdot u_1, \ \ k=2,...,m}\)

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ g(v_k',u_1)=0}\) dla \(\displaystyle{ k=2,...,m}\) (to akurat z definicji formy rzeczywiście łatwo zauważyć). Na mocy założenia indukcyjnego, istnieje g-ortogonalny układ \(\displaystyle{ (u_2,...,u_m)}\), t.że \(\displaystyle{ \mathcal{L}(u_2,...,u_m)=\mathcal{L}(v_2',...,v_m')}\) oraz \(\displaystyle{ \Gamma _g (u_2,...,u_m)=\Gamma _g(v_2',...,v_m')}\) (nie rozumiem w jaki sposób skorzystano tutaj z założenia indukcyjnego...).

\(\displaystyle{ \star}\)Wszystkie wektory \(\displaystyle{ v_k', k=2,\ldots,n}\) generują przestrzeń ortogonalną do wektora \(\displaystyle{ u_1}\). Jest ich dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\), a ponieważ działasz indukcją, gwarantuje Ci ona istnienie układu \(\displaystyle{ u_2,\ldots,u_m}\) wektorów spełniających to, co wyżej wypisałeś.

Stąd wynika, że także układ \(\displaystyle{ (u_1,u_2,...,u_m)}\) jest g-ortogonalny i spełnia warunki 1. i 2. (...i skąd taki wniosek).

\(\displaystyle{ \star}\)Wektor \(\displaystyle{ u_1}\) był ortogonalny do wektorów \(\displaystyle{ v_k', k=2,\ldots, n}\), więc jest ortogonalny do \(\displaystyle{ u_2,\ldots, u_n}\), gdyż \(\displaystyle{ \mathcal{L}(u_2,...,u_m)=\mathcal{L}(v_2',...,v_m')}\)

(b) \(\displaystyle{ g(v_i,v_i)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ i}\). Jeśli dany układ nie jest g-ortogonalny, to istnieją \(\displaystyle{ i,j}\), t.że \(\displaystyle{ g(v_i,v_j) \neq 0}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \Re(g(v_i,v_j)) \neq 0}\) (nie rozumiem dlaczego rozpatrujemy część rzeczywistą, później urojoną),

\(\displaystyle{ \star}\)Jak to bywa z liczbami zespolonymi, albo mają zerowe albo niezerowe części rzeczywiste.

to definiujemy \(\displaystyle{ w_i=v_i+v_j}\) oraz \(\displaystyle{ w_k=v_k}\) dla \(\displaystyle{ k \neq i}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ g(w_i,w_i)=2\Re(g(v_i,v_j)) \neq 0}\) (nie mam pojęcia skąd się wzięła ta równość )

\(\displaystyle{ \star g(w_i,w_i)=g(v_i+v_j,v_i+v_j)=g(v_i,v_i)+g(v_i,v_j)+g(v_j,v_i)+g(v_j,v_j)=
g(v_i,v_j)+g(v_j,v_i)=\\g(v_i,v_j)+\overline{(g(v_i,v_j))}=2\Re(g(v_i,v_j))}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \Re(g(v_i,v_j))=0}\), to definiujemy \(\displaystyle{ w_i=v_i+iv_j}\) (tu przypuszczam, że \(\displaystyle{ i}\) oznacza jednostkę urojoną a nie indeks) oraz \(\displaystyle{ w_k=v_k}\) dla \(\displaystyle{ k \neq i}\).

\(\displaystyle{ \star}\)Zgodnie z Twoim zapisem \(\displaystyle{ i}\) oznaczają koleno: indeks, indeks, jednostka urojona.

Wtedy:
\(\displaystyle{ g(w_i,w_i)=2\Im(g(v_i,v_j)) \neq 0}\) (też nie potrafię dojść skąd się to wzięło).

\(\displaystyle{ \star}\)Analogiczny rachunek jak wcześniej

W obu przypadkach dostajemy układ \(\displaystyle{ (w_1,...,w_m)}\), t.że \(\displaystyle{ \mathcal{L}(w_1,...,w_m)=\mathcal{L}(v_1,...,v_m)}\) i \(\displaystyle{ \Gamma _g(w_1,...,w_m)= \Gamma _g(v_1,...,v_m)}\), do którego można zastosować (a) (to też nie bardzo rozumiem).

\(\displaystyle{ \star}\)Można zastosować (a), gdyż \(\displaystyle{ g(w_i,w_i)\neq 0}\)spełnia przyjęte założenie układu wektorów w punkcie (a)\(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Przyjęte oznaczenia: \(\displaystyle{ \mathcal{L}(u_1,...,u_m)}\) - podprzestrzeń przestrzeni V generowana przez układ \(\displaystyle{ (u_1,...,u_m)}\)
\(\displaystyle{ \Gamma _g(u_1,...,u_m)}\) - wyznacznik macierzy Grama formy g układu \(\displaystyle{ (u_1,...,u_m)}\)

Byłbym wielce wdzięczny, bo sam już sobie nie radzę z tym twierdzeniem.

Pozdrawiam,
A.

Wyznacznik nie zmienia się przy zmianie bazy przestrzeni.

Pozwoliłem sobie wpisać uwagi bezpośrednio w Twój tekst, dając gwiazdki przy moich komentarzach. Mama nadzieję, że pomogłem wystarczająco.

[Arst]

Genialne, o takie coś mi chodziło

[yorgin]

Cieszę się