Witam,
mam prośbę o pomoc w zadaniu:
Podać przykład trzech dwuwymiarowych podprzestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) takich, że przekrój każdych dwóch z nich jest podprzestrzenią zerową.
Sądziłam, żeby próbować tworzyć wektory liniowo niezależne w poszczególnych podprzestrzeniach, np. w
\(\displaystyle{ \\
\\
1. (1, 0, 0 ,0), (0, 1, 0, 0) \\
2. (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) \\}\)
Mam już dwie podprzestrzenie dwuwymiarowe, takie, że ich przekrój jest podprzestrzenią zerową, niestety jakiej bym nie dobierała trzeciej to nie wychodzi .
Macie może jakiś pomysł?
Przekrój podprzestrzeni liniowych R^4
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Przekrój podprzestrzeni liniowych R^4
I jeszcze np. podprzestrzeń rozpięta na wektorach: \(\displaystyle{ (1,0,1,0),(0,1,0,1)}\).
Takich podprzestrzeni o parami trywialnych przekrojach może być zresztą nieskończenie wiele.
Takich podprzestrzeni o parami trywialnych przekrojach może być zresztą nieskończenie wiele.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekrój podprzestrzeni liniowych R^4
A jak sprawdzić żądane właściwości? Tzn, że przekrój każdych dwóch jest przestrzenią zerową?
Chciałam z definicji przekroju podprzestrzeni ale nie mam czegoś takiego w skrypcie a na wiki też nie ma
Chciałam z definicji przekroju podprzestrzeni ale nie mam czegoś takiego w skrypcie a na wiki też nie ma
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Przekrój podprzestrzeni liniowych R^4
Każde dwie z tych dwuwymiarowych podprzestrzeni rozpina całą przestrzeń. Żeby to sprawdzić z każdych dwóch par wektorów budujemy macierz i sprawdzamy, czy ma niezerowy wyznacznik. Np. dla pierwszej twojej i mojej ta macierz wygląda tak (w wierszach dla wygody, w kolumnach też OK):
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\)
Wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 1}\) (macierz dolnotrójkątna, więc wystarczy wymnożyć na przekątnej) zatem te cztery wektory są niezależne, czyli rozpinają przestrzeń czterowymiarową, więc te podprzestrzenie nie mogą mieć przecięcia dodatniego wymiaru, bo:
\(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1+V_2)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)=2+2-4=0}\).
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\)
Wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 1}\) (macierz dolnotrójkątna, więc wystarczy wymnożyć na przekątnej) zatem te cztery wektory są niezależne, czyli rozpinają przestrzeń czterowymiarową, więc te podprzestrzenie nie mogą mieć przecięcia dodatniego wymiaru, bo:
\(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1+V_2)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)=2+2-4=0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekrój podprzestrzeni liniowych R^4
Dzięki bardzo!
Sama bym nie wpadła na to a faktycznie bardzo prosto się sprawdza .
Sama bym nie wpadła na to a faktycznie bardzo prosto się sprawdza .