Dla \(\displaystyle{ x,y,z\in (0,1]}\) pokaż ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq\frac{5}{x+y+z}}\)
[Nierówności] wykazanie nierówności II
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
[Nierówności] wykazanie nierówności II
Po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ (x+y+z)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy}+\frac{y+z}{1+yz}+\frac{z+x}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 5}\).
\(\displaystyle{ (1-x)(1-y) \ge 0}\) zatem: \(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy} \le 1}\).
Wykażemy teraz że: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 2}\) (dowód pochodzi z ,,Wędrówek po krainie nierówności")
Możemy bez straty ogólności przyjąc że największą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest \(\displaystyle{ x}\) Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} - 2 \le \frac{x}{yz+1} + \frac{y}{yz+1} + \frac{z}{yz+1} -2 = \frac{(y-1)(1-z)+(x-1)-yz}{yz+1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy}+\frac{y+z}{1+yz}+\frac{z+x}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 5}\).
\(\displaystyle{ (1-x)(1-y) \ge 0}\) zatem: \(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy} \le 1}\).
Wykażemy teraz że: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 2}\) (dowód pochodzi z ,,Wędrówek po krainie nierówności")
Możemy bez straty ogólności przyjąc że największą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest \(\displaystyle{ x}\) Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} - 2 \le \frac{x}{yz+1} + \frac{y}{yz+1} + \frac{z}{yz+1} -2 = \frac{(y-1)(1-z)+(x-1)-yz}{yz+1} \le 0}\)
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2011, o 13:26 przez kp1311, łącznie zmieniany 1 raz.
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
[Nierówności] wykazanie nierówności II
,,łatwo sprawdzić, że przy oddalaniu którychś dwóch liczb z zachowaniem ich sumy prawa strona zostaje stała, a lewa rośnie"
Dowód by się przydał
Dowód by się przydał
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Nierówności] wykazanie nierówności II
to serio jest łatwe do sprawdzenia ;d
wiadomo, że przy oddalaniu dwóch liczb z zachowaniem sumy iloczyn maleje; wiedząc to widać, że poniższe wyrażenie wzrośnie (oddalamy x i z):
\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1} = \frac{y(x+z)+2}{y^2xz + y(x+z)+1} + \frac{1}{zx+1}}\)
wiadomo, że przy oddalaniu dwóch liczb z zachowaniem sumy iloczyn maleje; wiedząc to widać, że poniższe wyrażenie wzrośnie (oddalamy x i z):
\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1} = \frac{y(x+z)+2}{y^2xz + y(x+z)+1} + \frac{1}{zx+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BK
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 40 razy
[Nierówności] wykazanie nierówności II
Po oszacowaniu mianownik powinien być \(\displaystyle{ 1+yz}\), a nie \(\displaystyle{ 1+xy}\). Chyba pomyłka przy przepisywaniu z wędrówek:)kp1311 pisze: Możemy bez straty ogólności przyjąc że największą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest \(\displaystyle{ x}\) Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} - 2 \le \frac{x}{xy+1} + \frac{y}{xy+1} + \frac{z}{xy+1} -2 = \frac{(y-1)(1-z)+(x-1)-yz}{xy+1} \le 0}\)