układ równań

[kalik]

Dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) układ równań zmiennych rzeczywistych
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x_{1} & & &+x_{4} &=0 \\ 2x_{1} &+x_{2} &+x_{3} & &=0 \\ & -x_{2} &+x_{3} & &=0 \\ -x_{1}& &+x_{3} &+\alpha x_{4} &=0 \end{matrix}\right.}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

[Afish]

W którym momencie masz problem?

[kalik]

Policzyłem wyznacznik, który wynosi \(\displaystyle{ 2\alpha +4}\). Z tego \(\displaystyle{ \alpha =-2}\).
Dalej liczę wyznacznik macierzy uzupełnionej?

[aalmond]

\(\displaystyle{ \alpha = -1}\)

Dalej liczę wyznacznik macierzy uzupełnionej?

Nie da się. Nic już więcej nie trzeba liczyć.

[kalik]

\(\displaystyle{ \alpha = -1}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ \alpha = -1}\)? Z moich obliczeń wynika że \(\displaystyle{ \alpha = -2}\)
Jaka jest ogólna reguła postępowania w tego typu zadaniach? Czy wystarczy że policzę wyznacznik główny? W jakim przypadku musiałbym liczyć rzędy macierzy układu i macierzy uzupełnionej?

[aalmond]

Z moich obliczeń wynika że \(\displaystyle{ \alpha = -2}\)

Sorry. Masz rację. Zamieszałem.
Wyznacznik główny równy zero oznacza, że mamy do czynienia z układem nieoznaczonym albo sprzecznym. W przypadku układu jednorodnego (tak jak tutaj) układ sprzeczny nie wchodzi w grę.

W jakim przypadku musiałbym liczyć rzędy macierzy układu i macierzy uzupełnionej?

Gdybyś np. chciał skorzystać z Twierdzenie Kroneckera-Capellego

[kalik]

Czyli w układach jednorodnych nie korzysta się z tego twierdzenia, natomiast w układach niejednorodnych należy skorzystać, tak?

[aalmond]

W układzie jednorodnym rzędy macierzy głównej i rozszerzonej są równe, więc zawsze jest rozwiązanie.