Ekstremum lokalne- sprawdzenie

[maciek91m]

Witam,
Bardzo proszę o sprawdzenie czy dobrze obliczyłem zadanie:

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= x ^{3}-y^{3}+3xy}\)

\(\displaystyle{ f'x= 3 x^{2}+3y\\
f'_y=-3 y^{2}+3x\\
f''_{xx}=6x\\
f''_{yy}=-6y\\
f''_{xy}=3 \\ F''=\left[\begin{array}{cc}6x&3\\3&-6y\end{array}\right]\\
\begin{cases} 0=3 x^{2}+3y \\0=-3 y^{2}+3x\end{cases}}\)

Z II równania:
\(\displaystyle{ x=y^{2}}\)

Wychodzi mi wiec para liczb:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}}\)

Otrzymuje wiec:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}0&3\\3&0\end{array}\right]}\)
nie wystepuje tutaj extremum lokalne
oraz
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}6&3\\3&6\end{array}\right]}\)
gdzie jest extremum lokalne-- 8 wrz 2011, o 14:59 --zapomnialem dodac ze chcialbym prosic tez o jakies wskazowki jak wykonac 2 czesc tego polecenia bo musze jeszcze napisac rownanie plaszczyzny stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie w ktorym ma ona lokalne minimum

[yorgin]

Ja tu błędów nie widzę

[maciek91m]

ok dzieki ciesze sie ze w koncu cos roziwazalem poprawnie xD.
a moglbym prosic o jakies wskazowki jak wykonac 2 czesc tego polecenia bo musze jeszcze napisac rownanie plaszczyzny stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie w ktorym ma ona lokalne minimum.
Wydaje mi sie ze minimum lokalne wystepuje w pkt(1;-1)

[yorgin]

Ogólna postać na równanie płaszczyzny stycznej:
\(\displaystyle{ z-z_0 = f'_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f'_y (x_0, y_0)(y-y_0).}\)

\(\displaystyle{ x_0,y_0}\) to współrzędne minimum, \(\displaystyle{ z_0=f(x_0,y_0)}\)

Stąd \(\displaystyle{ z=5}\)

Można również intuicyjnie zauważyć, że płaszczyzna styczna do ekstremum jest postaci \(\displaystyle{ z=a}\), tak jak prosta styczna do ekstremum funkcji na płaszczyźnie jest postaci \(\displaystyle{ y=b}\)

[maciek91m]

Dzieki wielkie za pomoc!
Tylko jeszcze nie bardzo wiem skad \(\displaystyle{ z=5}\). Minimum znajduje sie bodajze w \(\displaystyle{ pkt(1;-1)}\) o ile dobrze policzylem i po podstawieniu wszystkiego \(\displaystyle{ z+1=(x-1)+(y+1)}\)
Co podstawic za \(\displaystyle{ x,y}\) zeby otrzymac 5?

[yorgin]

W ogólnej postaci równania, które napisałem, punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) jest punktem styczności. \(\displaystyle{ x_0, y_0}\) to dwie dane współrzędne określające minimum funkcji. Wartość funkcji w tym punkcie to \(\displaystyle{ z_0}\).

Zauważ, że musi być \(\displaystyle{ f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0}\) gdyż \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) spełnia warunek konieczny bycia ekstremum.

No i teraz zauważyłem byka, wychodzi oczywiście \(\displaystyle{ z_0=-1}\) czyli płaszczyzną styczną jest \(\displaystyle{ z=-1.}\)

[maciek91m]

dzieki wielkie