Definicja pochodnej - pewna subtelność

[chlorofil]

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\)

Jednak zastanawia mnie w jaki sposób pokazać formalnie, że te definicje są równoważne?

Wiem, że trzeba zacząć od podstawienia:

\(\displaystyle{ x = x_0 + h}\)

Potem autorzy zwykle stosują przejście:

\(\displaystyle{ h \rightarrow 0 \Rightarrow x \rightarrow x_0}\)

jednak to właśnie nie jest dla mnie do końca jasne. Jakie konkretnie stwierdzenia/definicje pozwalają na takie przejście?

Czy trzeba tu skorzystać z definicji Heinego i powiedzieć, że dla każdego ciągu \(\displaystyle{ h_n}\) zbieżnego do zera, określając ciąg:
\(\displaystyle{ x_n = x_0 + h_n}\) mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}(x_0 + h_n) = \lim_{n \to \infty}(x_0) + \lim_{n \to \infty}(h_n) = \lim_{n \to \infty}x_0 + 0 = x_0}\), skąd:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n) = x_0}\).

Czy i w jaki sposób z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ h \rightarrow 0 \Leftrightarrow x \rightarrow x_0}\)?

A może prościej byłoby wykorzystać definicję Cauchy'ego?

Proszę o odpowiedź.

[Adifek]

Wystarczy podstawić \(\displaystyle{ h=x-x_{0}}\)

Wówczas \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow x_{0}}(x-x_{0})=\left( \lim_{x \rightarrow x_{0}}x\right) - \left( \lim_{x \rightarrow x_{0}}x_{0}\right) = \left( \lim_{x \rightarrow x_{0}}x\right)-x_{0}=x_{0}-x_{0}=0}\)

Stąd, ponieważ \(\displaystyle{ h=x-x_{0} \rightarrow 0}\) mamy, że \(\displaystyle{ h \rightarrow 0}\).

Nie ma sensu 'cofać się' do definicji granicy funkcji.

[Dasio11]

Adifek, jesteś pewien? Zapis \(\displaystyle{ h \to 0}\) czy \(\displaystyle{ x \to x_0}\) nie ma sensu, dopóki nie rozważa się jakiejś granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x).}\)
Nie pokazałeś więc, że

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x) = g \iff \lim_{h \to 0} f \left( x_0+h \right)=g}\)

[Adifek]

Mam \(\displaystyle{ h= g(x)=x-x_{0}}\). Z równości wynika, że jeśli istnieje jedna granica (no zakładamy, że istnieje) to i druga również oraz i są sobie równe. Wiadomo, można by uzasadniać właściwości granic funkcji, zejść do ciągów itd. aż do aksjomatów liczb rzeczywistych. Zauważyłem jedynie, że to samo można zrobić powołując się na własności granic funkcji i wygodniejszy w tym wypadku zapis \(\displaystyle{ h=x-x_{0}}\) zamiast \(\displaystyle{ x=x_{0}+h}\).

[chlorofil]

No ale w ten sposób rozpatrujesz oddzielnie "argument" granicy (to co jest pod spodem zapisu limes). Nie chodzi o aksjomatykę liczb rzeczywistych itp. Chodzi o ścisłe udowodnienie, że obie przytoczone przeze mnie (i znane wsyzstkim) definicje pochodnej są równoważne, tzn. obie wyjściowe granice są równe. Rozpatrywanie osobno tego co jest pod limesem od tego czego ten limes dotyczy jest, jak zauważył słusznie Dasio11 nieścisłe.

[Adifek]

To weźcie sobie funkcję \(\displaystyle{ h(x)=x-x_{0}}\) określoną w otoczeniu \(\displaystyle{ x_{0}}\). Wtedy z ciągłości \(\displaystyle{ h}\) w \(\displaystyle{ x_{0}}\) mamy, że \(\displaystyle{ x \rightarrow x_{0} \Rightarrow h(x) \rightarrow h(x_{0})}\). Ponadto superpozycja funkcji ciągłych (zakładam, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciagła w \(\displaystyle{ x_{0}}\)) jest funkcją ciągłą, więc
\(\displaystyle{ x \rightarrow x_{0} \Rightarrow h(x) \rightarrow h(x_{0}) \Rightarrow\\ f(h(x)+x_{0}) \rightarrow f(h(x_{0})+x_{0}) \Leftrightarrow f(x-x_{0}+x_{0}) \rightarrow f(0+x_{0})}\)
przy czym ostatnia równoważność jest oczywista, bo zachodzą odpowiednie równości.

Podobnie
\(\displaystyle{ h(x) \rightarrow 0 \Rightarrow h^{-1}(h(x)) \rightarrow h^{-1}(0) \Leftrightarrow \\ x \rightarrow x_{0} \Rightarrow f(x) \rightarrow f(x_{0}) \Leftrightarrow f(h(x)+x_{0}) \rightarrow f(x_{0})}\)


ogólnie to twierdzenie z gatunku tych, w których formalny dowód stwarza tylko więcej wątpliwości

Edit: jak gdzieś się pogmatwałem, to krzyczeć

[Dasio11]

Już lepiej, ale jeszcze chyba jest parę nieścisłości.
Pierwszy ciąg implikacji jest niepotrzebny, bo implikacja (notabene znów nieformalna )

\(\displaystyle{ x \to x_0 \Rightarrow f(x) \to f(x_0)}\)

jest definicją ciągłości \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ x_0}\) (którą założyłeś).
Po drugie: czym będzie \(\displaystyle{ f?}\) Żeby dowód faktycznie dowodził twierdzenia z tematu, należałoby zdefiniować:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \quad \text{dla } x \neq x_0} \\ L \qquad \quad \text{dla } x=x_0 \end{cases}}\)

dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g,}\) przy czym \(\displaystyle{ L=\lim_{x \to x_0} f(x),}\) o ile ta granica istnieje.
Wówczas zdania wypowiedziane na temat \(\displaystyle{ f}\) faktycznie pokazują to, co trzeba.

I wreszcie, drugi ciąg implikacji dowodzi tego:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h} = g \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g}\)

Brak za to implikacji w drugą stronę.

Ostatecznie, moim zdaniem warto by to formalnie, od początku do końca napisać, chociażby po to, by to na forum gdzieś było.

Na koniec wybacz, że się tak czepiam, ale przyznasz, że w tym temacie powinna być zachowana ścisłość i precyzja.
Jednocześnie zachęcam do krytycznego spoglądania na moje wypowiedzi, co bym bzdur nie pisał. ^^

[Adifek]

Pierwszy ciąg implikacji jest niepotrzebny, bo implikacja (notabene znów nieformalna )

\(\displaystyle{ x \to x_0 \Rightarrow f(x) \to f(x_0)}\)

jest definicją ciągłości w (którą założyłeś).

Żeby pokazać, z której definicji dalej korzystam

Brak za to implikacji w drugą stronę.

Są w obie strony (pragnę zauważyć, że \(\displaystyle{ h(x_{0})=0}\))

Ta 'nieformalna' strzałka niestety Cię zmartwi, bo po przebrnięciu przez definicje granicy już głównie z niej się korzysta na studiach matematycznych. Gdy jest się na pochodnych, to jest się po ciągłości i tym bardziej po granicach, więc każdy powinien wiedzieć jaki formalny zapis ze sobą owa strzałka wnosi.

I skoro chcesz być taki formalny, to czym jest funkcja \(\displaystyle{ g}\)? Z Twojego zapisu dalej nie wynika istnienie pochodnej (przecież chcesz to zrobić formalnie). Ja założyłem (choć fakt, nie napisałem tego), że \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna i mam spokój.

Ja tam uważam, że aż taki formalizm nie jest potrzebny, bo twierdzenie jest oczywiste. I moją opinię potwierdzają chyba autorzy podręczników, bo zwykle poświęcają na to ze dwa zdania...

[Dasio11]

Spokojnie, kolego.
Strzałka mnie w ogóle nie martwi i wcale nie jest dla mnie nowością. I ja również zgadzam się, że to twierdzenie jest oczywiste. Chodzi jedynie o to, by akurat w tym temacie darować sobie skróty i porządnie rozpisać całość, bez przeskoków. Taka chwila szaleństwa. ^^

I skoro chcesz być taki formalny, to czym jest funkcja \(\displaystyle{ g}\)? Z Twojego zapisu dalej nie wynika istnienie pochodnej (przecież chcesz to zrobić formalnie).

Chcemy dowieść, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ g}\) i dowolnej liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi równoważność

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0+h)-g(x)}{h} = \alpha}\)

Jeśli położymy

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \quad \text{dla } x \neq x_0} \\ \alpha \qquad \quad \text{dla } x=x_0 \end{cases}}\)

(przy czym \(\displaystyle{ \alpha=\lim_{x \to x_0} f(x)}\), o ile ta granica istnieje),
to twój dowód faktu

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)}\)

(dowód zakłada, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\))

będzie faktycznie dowodził, że

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \Rightarrow f}\) ciągła w \(\displaystyle{ x_0 \stackrel{\text{dowód}}{\Rightarrow} \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)}\)

czyli połowy tezy. A może całości... szczerze mówiąc, trudno mi powiedzieć, czego dowiodłeś - właśnie przez te 'nieformalne' strzałki.

Dlatego proponuję taki dowód:

dowód:    

\(\displaystyle{ ( \Rightarrow )}\)
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) i załóżmy, że

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha,}\)

tzn. dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ x_0}\) i o elementach różnych od \(\displaystyle{ x_0,}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}=\alpha \qquad \qquad (1)}\)

Weźmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ h_n}\) zbieżny do zera i o elementach niezerowych. Wówczas ciąg

\(\displaystyle{ x_n=x_0+h_n}\)

spełnia

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = x_0}\)

oraz \(\displaystyle{ x_j \neq x_0}\) dla każdego \(\displaystyle{ j \in \mathbb{N},}\) zatem na mocy założenia, dla ciągu \(\displaystyle{ \{ x_n \}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (1),}\) równoważna równości

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{g(x_0+h_n)-g(x_0)}{h_n} = \alpha.}\)

Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ h_n}\) był dowolnym ciągiem zbieżnym do zera o elementach niezerowych, to wnioskujemy, że

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}=\alpha.}\)


\(\displaystyle{ ( \Leftarrow )}\)

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) i załóżmy, że

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h} = \alpha,}\)

tzn. dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ h_n}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ 0}\) i o elementach niezerowych zachodzi

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{g(x_0+h_n)-g(x_0)}{h_n}=\alpha \qquad \qquad (1')}\)

Weźmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\) i o elementach różnych od \(\displaystyle{ x_0.}\) Wówczas ciąg

\(\displaystyle{ h_n=x_n-x_0}\)

spełnia

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} h_n = 0}\)

oraz \(\displaystyle{ h_j \neq 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ j \in \mathbb{N},}\) zatem na mocy założenia, dla ciągu \(\displaystyle{ \{ h_n \}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (1'),}\) równoważna równości

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0} = \alpha.}\)

Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) był dowolnym ciągiem zbieżnym do \(\displaystyle{ x_0}\) o elementach różnych od \(\displaystyle{ x_0,}\) to wnioskujemy, że

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\alpha.}\) \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)

Jeśli widzisz krótszy dowód, który nie pomija żadnych niesuperoczywistych przejść, z przyjemnością go przeczytam.

[Adifek]

Chcemy dowieść, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f}\)

To nam się nie może udać

Pytam o \(\displaystyle{ g}\), bo zmieniasz oznaczenia względem pierwotnych i tych, które ja używam.

zatem na mocy założenia, dla ciągu \(\displaystyle{ \{ x_n \}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (1)}\) równoważna równości

To dowodzisz w jedną stronę a otrzymujesz równoważność?


Najprostszy formalny dowód jaki mi się nasuwa:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją różniczkowalną w \(\displaystyle{ x_{0}}\) (czyli ciągła i istnieje granica odpowiedniego ilorazu różnicowego). Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym otoczeniem \(\displaystyle{ x_{0}}\) oraz niech \(\displaystyle{ \{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} \subset A}\) taki, że \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}=x_{0}}\). Ponadto, zdefiniujmy ciąg \(\displaystyle{ \{h_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}\) następująco: \(\displaystyle{ h_{n}=x_{n}- x_{0}}\). Zauważmy, że z definicji \(\displaystyle{ \{h_{n}\}}\) jest bieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest \(\displaystyle{ \left\{ x_{n}\right\}}\) (tutaj chcę pójść na małe skróty, żeby nie robić tego samego od drugiej strony i nie musieć tego pisać ). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}h_{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}(x_{n}-x_{0})=\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}-\lim_{n \rightarrow \infty}x_{0}=x_{0}-x_{0}=0}\) (w drugą stronę analogicznie - konsekwentnie na skróty). Mamy więc \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}=x_{0} \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}h_{n}=0}\) (bez skrótów mielibyśmy dopiero implikację w prawo). Oczywiście mamy \(\displaystyle{ x_{0}+h_{n}=x_{n}}\) oraz (analogicznie do sytuacji sprzed chwili) \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}(x_{0}+h_{n})=x_{0} \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}=x_{0}}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(x_{n})= f(x_{0}+h_{n})}\) oraz z równości granic \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}f(x_{n})=\lim_{n \rightarrow \infty}f(x_{0}+h_{n})}\) przy czym z ciągłości \(\displaystyle{ f}\) wiemy, ze te granice są skończone i równe \(\displaystyle{ f(x_{0})}\).
Zatem z powyższych równości mamy: \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}\) (granica istnieje z założenia).
Z ciągłości i dowolności \(\displaystyle{ \{ x_{n}\}}\)(\(\displaystyle{ \{h_{n}\}}\) w skrócie) otrzymujemy równość: \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\)

Można by szybciej, bez schodzenia do ciągów, ale wtedy znów zarzucisz mi nieścisłość/nieformalizm.

[Dasio11]

Chcemy dowieść, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) zachodzi równoważność

To nam się nie może udać

O, dlaczego? Mnie się udało.

zatem na mocy założenia, dla ciągu \(\displaystyle{ \{ x_n \}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (1)}\) równoważna równości

To dowodzisz w jedną stronę a otrzymujesz równoważność?

Nie tak łatwo IMHO byłoby rozciągnąć całe rozumowanie na równoważności, więc tu w zasadzie skorzystałem z implikacji.

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją różniczkowalną w \(\displaystyle{ x_{0}}\) (czyli ciągła i istnieje granica odpowiedniego ilorazu różnicowego).

Ale jaka granica? To jest ważne.

[...]oraz niech \(\displaystyle{ \{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} \subset A}\) taki, że \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}=x_{0}}\). [...] Zauważmy, że z definicji \(\displaystyle{ \{h_{n}\}}\) jest bieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest \(\displaystyle{ \left\{ x_{n}\right\}}\)

Żeby rzetelnie można było ocenić poprawność dowodu, prawdopodobnie musiałbyś dokładnie napisać, na jakie skróty idziesz. Tu na przykład zdefiniowałeś \(\displaystyle{ \{ x_n \}}\) jako zbieżny, a za chwilę piszesz taką równoważność. Wygląda to, jakbyś w drugiej (którą pominąłeś na skróty ;p) części miał zamiar definiować \(\displaystyle{ \{ h_n \}}\) jako dowolny ciąg zbieżny do zera, zaś \(\displaystyle{ \{ x_n \}}\) jako \(\displaystyle{ x_0+h_n.}\) Ale tego tam nie ma, na czym chyba cierpi czytelność dowodu.

[Adifek]

O, dlaczego? Mnie się udało.

To spróbuj to zrobić dla funkcji nieróżniczkowalnej

Nie tak łatwo IMHO byłoby rozciągnąć całe rozumowanie na równoważności, więc tu w zasadzie skorzystałem z implikacji.

A umiesz czytać? W dowodzie w dowodzeniu w jedną stronę piszesz, że zachodzi równość równoważna równości. A, rzecz jasna, w tym momencie dowodu mamy tylko jednostronne wynikanie.

Tak, skróty wyglądają tak, jak piszesz. Tylko bez nich cierpiałaby dusza czytając to bo praktycznie mógłbym całość dowodu przekopiować, tylko zamieniając ciągi.

[abc666]

Wiem, że trzeba zacząć od podstawienia:

\(\displaystyle{ x = x_0 + h}\)

I na nim skończyć?!

[Adifek]

@up no ja osobiście tez jestem tego zdania

[chlorofil]

Wiem, że trzeba zacząć od podstawienia:

\(\displaystyle{ x = x_0 + h}\)

I na nim skończyć?!

Czyli co, takie podstawienie + definicja Cauchy'ego i wychodzi to samo i to jest formalnie wystarczające?