pochodna z definicja

[dzes4]

Korzystając z definicji pochodnej oblicz \(\displaystyle{ y^{\prime }\left(0\right)}\).

1) \(\displaystyle{ y\left(x\right)=\begin{cases} \tg\left(x^{3}+x^{2}\sin\frac{2}{x}\right), x\neq0\\0,x=0\end{cases}}\)
2) \(\displaystyle{ y\left(x\right)=\begin{cases} \arcsin\left(x^{2}\cos\frac{1}{9x}\right)+\frac{2}{3}x, x\neq0\\0,x=0\end{cases}}\)
3) \(\displaystyle{ y\left(x\right)=\begin{cases} \arctan\left(x\cos\frac{1}{5x}\right), x\neq0\\0,x=0\end{cases}}\)

Znam definicje pochodnej.
Trzeba policzyć granicę ilorazu różniczkowego dążącego do 0 tak?
Tylko później nie wiem jak obliczyć granicę bo np. \(\displaystyle{ \sin \frac{2}{x}}\) dąży do nieskończoności i jakoś nie wiem jak to ugryźć.
Pomoże ktoś?

[Lorek]

Zapisz to do czego doszedłeś, to zobaczymy co robić dalej.

[dzes4]

Chyba wyraźnie piszę w czym utknąłem. W podstawieniu punktu granicznego pod \(\displaystyle{ \sin\frac{2}{x}}\) i wyjdzie nieskończoność z sinusa? Ile to jest? Tak samo wychodzi w następnych przykładach.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\frac{\tg (x^{3}+x^{2}\sin\frac{2}{x})}{x}}\)

Podstawiam 0 i wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\frac{\tg\left(0+0\sin\infty)}{0}}\)

I co dalej?

Wychodzi 0 przez 0? I l'Hospital w ruch?

[Lorek]

Ja wiem jaki jest twój problem i wiem jakie jest jego rozwiązanie, tylko chcę wiedzieć do jakiej postaci doszedłeś, żeby wiedzieć jaką ci dać wskazówkę.

[dzes4]

napisałem wyżej na czym się zatrzymałem : )

[Lorek]

Nie ma to jak hospital, czyli pochodne przy liczeniu pochodnych sinus jest ograniczony, więc zero razy sinus daje... A dalej to trzeba sobie przypomnieć taką jedną granicę z tangensem w zerze.

[dzes4]

W pierwszym wyjdzie 0?, bo tu trzeba kolejne trzaskać przykłady a ja przy pierwszym jestem nadal.

[Lorek]

Końcowy wynik wyjdzie 0, ale nie wiem jaka to przyjemność znać wynik a nie znać rozwiązania.

[dzes4]

Zapytałem o wynik żeby się upewnić czy dobrze policzyłem więc chyba znam rozwiązanie czyż nie? Jakoś chyba musiałem do tego wyniku dojść. Nie strzelałem : )

A kolejne wyniki to 2) \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) 3) 0?

[Lorek]

Nie wiem czy nie strzelałeś, tego już nie sprawdzę Ale za to mogę powiedzieć, że w 3 nie taka jest odpowiedź.

[dzes4]

To pewnie nie da się obliczyć tzn nie ma pochodnej tak?
Nie bardzo rozumiem kwestię funkcji ograniczonej. Jak takowa się pojawia to można ją ominąć w rachunkach?

[Lorek]

To pewnie nie da się obliczyć tzn nie ma pochodnej tak?

Tak

Nie bardzo rozumiem kwestię funkcji ograniczonej. Jak takowa się pojawia to można ją ominąć w rachunkach?

Przy liczeniu niektórych granic jest prościej, bo jak w granicy wychodzi 0*coś ograniczonego, to to jest 0, nawet jak nie istnieje granica tego ograniczonego czynnika (patrz przykład z sinusem).

[dzes4]

Jeszcze pociągnę ten temat.
Mam liczyć granicę prawostronne i lewostronne w zerze?

[Lorek]

Przy tych przykładach czy przy czym?

[dzes4]

Tak przy tych przykładach.
Granicę x dążącego do 0 z prawej i lewej strony.