Rozwinięcie funkcji w szereg taylora.

[ketrba]

Witam.
Treść zadania:
Rozwinąć w szereg Taylora funkcję \(\displaystyle{ f(x)=1/x}\), \(\displaystyle{ x _{0}=2}\), wyznaczyć obszar zbieżności otrzymanego szeregu.

Znalazłem n-tą pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ f ^{(n)}(x)=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}}\)

Po podstawieniu do wzoru otrzymałem taki szereg:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{x-2}{2 ^{n+1} }}\)

Niestety nie mam odpowiedzi do tego zadania więc też nie mogę sprawdzić czy wynik jest poprawny.
I teraz mam pomysłu jaką metodą wyznaczyć obszar szeregu. Ma ktoś pomysł?

[xiikzodz]

Pochodna OK, dla \(\displaystyle{ n=0}\) ten sam wzór, ale szereg niezupełnie. Po zastosowaniu pochodnej i wzotu na rozwinięcie otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}}\)

[ketrba]

Dzięki za odpowiedź.

Więc dla takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}}\)

Obszar zbieżności dalej liczę korzystając z twierdzenia Cauchy`ego-Hadamarda?:
Podstawiam:
\(\displaystyle{ y=x-2}\)
Liczę granice:
\(\displaystyle{ \lim \sqrt[n]{ \frac{1}{2 ^{n+1} } }= \frac{1}{2}}\)

Promień zbieżności:
\(\displaystyle{ r=2}\)

Więc:
\(\displaystyle{ \left| x-2\right|<2 \\
x \in (0, 4)}\)

Teraz muszę sprawdzić czy dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=4}\) szereg jest zbieżny i znowu nie bardzo wiem jak się za to zabrać.