przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

[Michail 88]

wyznacz przedział monotoniczności i ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}}\)

z monotoniczności i ekstremami to dla mnie jest dosłownie ekstremalny temat, mógłby ktoś napisać rozwiązanie.

[AsiaS1986]

Wyznacz najpierw pierwsza pochodną a następnie drugą.

[Dasio11]

Hmm. Najpierw proponuję wyznaczyć dziedzinę...

[Michail 88]

hmmm, a moglbym liczyc na cale rozwiazanie ? bo nie jestem super dobry, ani nawet dobry, podejzewam, ze przecietny tez nie, a w zasadzie to dno ze mnie z matematyki

[AsiaS1986]

Dziedzinę chyba potrafisz wyznaczyć? Jak mamy do czynienia z ułamkiem to mianownik musi być różny od zera.

[Michail 88]

no z tym tez mam problemy

[AsiaS1986]

Wyznaczamy dziedzinę:
\(\displaystyle{ x^2-1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 \neq 1}\)
\(\displaystyle{ x \neq 1 \wedge x \neq -1}\)
\(\displaystyle{ D=R/\{-1,1\}}\)

Spróbuj wyznaczyć pierwsza pochodną i pokaż rozwiązanie. Jak będzie źle to poprawimy.

[erko2]

\(\displaystyle{ f(x)=( \frac{x^2}{x ^{2}-1})}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{-2x}{x^{4}+2x^{2}+1}}\)

Dobrze wyszla mi pochodna? Jezeli tak to:
dla \(\displaystyle{ x<0}\) przyjmuje ona wartosci dodatnie, dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ujemne. W przedziale

Funkcja rosnąca dla
\(\displaystyle{ -\infty<x<-1 \vee -1<x<0}\)
Funkcja malejaca dla
\(\displaystyle{ 0<x<1 \vee 1<x< \infty}\)


Napewno sie gdzies stuknalem. W koncu matematyk to ze mnie kiepski. Tez potrzebuje podobnego zadania, wiec prosze o pomoc w rozwiazaniu tego, to zdecydowanie ulatwi mi zycie ^3^..

[AsiaS1986]

\(\displaystyle{ f(x)=( \frac{x^2}{x ^{2}-1})}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{-2x}{x^{4}+2x^{2}+1}}\)

W mianowniku masz błąd:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{(x^{4}-2x^{2}+1)}=\frac{-2x}{x^{4}-2x^{2}+1}}\)
Ale zostaw mianownik pochodnej w takiej formie:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-2x}{(x^2-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ D_{f^'}=D_{f}=R/\{-1,1\}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=( \frac{x^2}{x ^{2}-1})}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{-2x}{x^{4}+2x^{2}+1}}\)

Dobrze wyszla mi pochodna? Jezeli tak to:
dla \(\displaystyle{ x<0}\) przyjmuje ona wartosci dodatnie, dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ujemne.

Powinno być:
dla \(\displaystyle{ x<0}\) przyjmuje ona wartosci dodatnie, dla \(\displaystyle{ x > 0}\) ujemne.
I pytanie: tóry punkt to ekstremum i jakie?

[erko2]

Ekstremum:
\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
\(\displaystyle{ 0= \frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}}\)

Czyli dla x=0 to maksimum lokalne, bo pochodna przyjmuje znak dodatki dla x<0 i ujemny dla x>0..?

@down
Dzieki wielkie, nie bede juz pisal nowego posta. Mam nadzieje, ze autor tematu wlepi ci plusika, ja neistety nie moge : )

[AsiaS1986]

\(\displaystyle{ x=0}\) to punkt podejrzany o ekstremum.

Sprawdzamy dwa przedziały:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ (- \infty ,-1) \cup (-1,0)}\) np.x=-2
\(\displaystyle{ f^{'}(-2)>0}\)

\(\displaystyle{ \bullet (0, 1 ) \cup (1, \infty )}\) np.x=2
\(\displaystyle{ f^{'}(2)<0}\)

Widzimy zmianę znaku pochodnej z dodatniej na ujemną, więc punkt \(\displaystyle{ x=0 \Rightarrow maximum}\)