rozszerzenie rozdzielcze

[Pestka_2]

Poszukuję przykładu i uzasadnienia na to, że w dodatniej charakterystyce rozszerzenia algebraiczne nie muszą być rozdzielcze.

[xiikzodz]

Np. ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p(x)}\) i wielomian \(\displaystyle{ f(t)=t^p-x}\), jeśli bowiem \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, to \(\displaystyle{ a^p=x}\) i wobec tego \(\displaystyle{ t^p-x=t^p-a^p=(t-a)^p}\), czyli a jest \(\displaystyle{ p}\)-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu.

Kłopoty ze znalezieniem przykładu polegają na tym, że ciała skończone i charakterystyki zero, czyli te najczęściej rozważane, mają jedynie rozdzielcze rozszerzenia.

[Pestka_2]

Czyli tutaj nasze ciało Fp(x) jest rozszerzeniem ciała Fp o element x?? A f(t) jest wielomianem minimalnym dla x?

[xiikzodz]

Ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p(x)}\) to ciało ułamków pierścienia wielomianów zmiennej \(\displaystyle{ x}\) o współczynnikach w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\), natomiast \(\displaystyle{ f(t)}\) jest wielomianem minimalnym pierwiastka \(\displaystyle{ p}\)-tego stopnia z elementu \(\displaystyle{ x}\), który to pierwiastek został w rozwiązaniu oznaczony \(\displaystyle{ a}\).